Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é a perda relativa de energia por ciclo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tecla de dó central do piano que tem uma frequência de 262 Hz e perde metade da sua energia em 4 segundos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de decadência exponencial e energia periódica. Precisamos descobrir quanto dessa energia é perdida a cada ciclo da tecla, ou seja, a perda relativa de energia por ciclo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantos ciclos a tecla faz em 4 segundos. Sabemos que a frequência (f) é de 262 Hz, o que significa que ela completa 262 ciclos por segundo.
Número de ciclos = f times t = 262 , Hz times 4 , s = 1048 , ciclos ú

Passo 3

Sabemos que após esses 1048 ciclos, a energia é reduzida pela metade. Vamos chamar a perda relativa de energia por ciclo de Ef = E0 times (1 - p)^1048 . A energia após cada ciclo diminui multiplicativamente por 12 E0 = E0 times (1 - p)^1048 .
Então, após 1048 ciclos, a energia final 12 = (1 - p)^1048 é:
Onde é a energia inicial. Segundo o problema, .
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
ln(12) = 1048 times ln(1 - p)
Sabemos que -ln 2 = 1048 times ln(1 - p) , então:
ln(1 - p) = -ln 21048
Dividindo ambos os lados por 1048:
1 - p = e^-ln 21048 = 2^-11048
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para isolar p = 1 - 2^-11048 :
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular o valor de p = 1 - 2^-11048 approx 1 - e^-ln 21048 approx ln 21048 approx 0,6931048 approx 0,000662 , (ou 0,0662%) :

Resposta

A perda relativa de energia por ciclo é aproximadamente 0,066%.

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