Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após
. Qual é a perda relativa de energia por ciclo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma tecla de dó central do piano que tem uma frequência de 262 Hz e perde metade da sua energia em 4 segundos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de decadência exponencial e energia periódica. Precisamos descobrir quanto dessa energia é perdida a cada ciclo da tecla, ou seja, a perda relativa de energia por ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantos ciclos a tecla faz em 4 segundos. Sabemos que a frequência (f) é de 262 Hz, o que significa que ela completa 262 ciclos por segundo.
Passo 3
Sabemos que após esses 1048 ciclos, a energia é reduzida pela metade. Vamos chamar a perda relativa de energia por ciclo de
. A energia após cada ciclo diminui multiplicativamente por
.
Então, após 1048 ciclos, a energia final
é:
Onde
é a energia inicial. Segundo o problema,
.
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por 1048:
Agora, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para isolar
:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular o valor de
:
Resposta
A perda relativa de energia por ciclo é aproximadamente 0,066%.