Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o tempo de decaimento, tau ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. A tecla dó central do piano, que tem uma frequência de 262 Hz, perde metade da sua energia após 4,00 segundos. Precisamos descobrir o tempo de decaimento, representado por tau. Para resolver isso, vamos usar conceitos de decaimento exponencial de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do decaimento exponencial. A energia em função do tempo pode ser descrita por:
E(t) = E0 , e^-t/tau
Onde:
  • E(t) é a energia no tempo t,
  • E0 é a energia inicial,
  • tau é o tempo de decaimento que queremos encontrar.

Passo 3

Segundo, sabemos que após 4 segundos, a energia é metade da inicial, ou seja:
E(t)E0 = 12
Substituindo na fórmula:
12 = e^-4/tau

Passo 4

Para resolver para tau, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(12) = -4tau

Passo 5

Sabemos que ln(12) = -ln(2). Então:
-ln(2) = -4tau
Multiplicando ambos os lados por -1:
ln(2) = 4tau

Passo 6

Agora, isolamos tau:
tau = 4ln(2)

Resposta

Calculando tau:
tau approx 40.6931 approx 5,77 , segundos

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