Duas cargas
, iguais e positivas, são posicionadas sobre o eixo
, uma em
e a outra em
. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo
é orientado ao longo desse eixo e possui uma intensidade
(b) Mostre que nas vizinhanças da origem, quando
,
é aproximadamente igual a
. © Mostre que para valores de
muito maiores do que
é aproximadamente igual a
. Explique por que esse resultado seria esperado antes mesmo de ser calculado. (d) Mostre que o campo elétrico para essa distribuição de carga possui sua maior intensidade nos pontos cujas coordenadas são
, calculando a derivada
e igualando-a a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas elétricas iguais e positivas,
, posicionadas no eixo
em
e
. A gente precisa analisar o campo elétrico gerado por essas cargas ao longo do eixo
. Vamos usar os conceitos de campo elétrico de cargas pontuais e a superposição desses campos para resolver as partes (a) a (d) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A fórmula do campo elétrico
devido a uma carga
está a uma distância
é dada por:
onde
é a constante de Coulomb (
).
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto no eixo
onde queremos calcular o campo elétrico total devido às duas cargas. A posição desse ponto é
.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga em
no ponto
. A distância entre a carga e o ponto é:
O campo elétrico devido a essa carga tem magnitude:
A direção desse campo é do ponto para a carga, que no eixo
tem componentes na direção
que se cancelam quando somamos os campos das duas cargas.
Passo 5
De forma similar, o campo elétrico gerado pela carga em
no ponto
também tem magnitude:
E a direção também se alinha ao eixo
, porque as componentes verticais dos campos se cancelam.
Passo 6
Como as duas cargas são iguais e estão simetricamente posicionadas, os campos elétricos gerados por elas no ponto
se somam na direção do eixo
. Portanto, o campo elétrico total
é:
Mas precisamos levar em conta a direção e a distância. A componente no eixo
é:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no eixo
é orientado ao longo desse eixo e possui intensidade: