Duas cargas q, iguais e positivas, são posicionadas sobre o eixo y, uma em y=a e a outra em y=-a. (a) Mostre que o campo elétrico no eixo x é orientado ao longo desse eixo e possui uma intensidade
Ex=2 k q x(x^2+a^2)^32
(b) Mostre que nas vizinhanças da origem, quando x ll a, Ex é aproximadamente igual a 2 k q x / a^3. © Mostre que para valores de x muito maiores do que a, Ex é aproximadamente igual a 2 kq / x^2. Explique por que esse resultado seria esperado antes mesmo de ser calculado. (d) Mostre que o campo elétrico para essa distribuição de carga possui sua maior intensidade nos pontos cujas coordenadas são x= pm a / raiz2, calculando a derivada d E / d x e igualando-a a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas elétricas iguais e positivas, , posicionadas no eixo em e . A gente precisa analisar o campo elétrico gerado por essas cargas ao longo do eixo . Vamos usar os conceitos de campo elétrico de cargas pontuais e a superposição desses campos para resolver as partes (a) a (d) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual. A fórmula do campo elétrico E = k qr^2 devido a uma carga está a uma distância é dada por:
onde é a constante de Coulomb ( ²²).

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto no eixo onde queremos calcular o campo elétrico total devido às duas cargas. A posição desse ponto é .

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga em r = raizx^2 + a^2 no ponto E1 = k q(x^2 + a^2) . A distância entre a carga e o ponto é:
O campo elétrico devido a essa carga tem magnitude:
A direção desse campo é do ponto para a carga, que no eixo tem componentes na direção que se cancelam quando somamos os campos das duas cargas.

Passo 5

De forma similar, o campo elétrico gerado pela carga em E2 = k q(x^2 + a^2) no ponto também tem magnitude:
E a direção também se alinha ao eixo , porque as componentes verticais dos campos se cancelam.

Passo 6

Como as duas cargas são iguais e estão simetricamente posicionadas, os campos elétricos gerados por elas no ponto Ex = E1 + E2 = 2k q(x^2 + a^2) se somam na direção do eixo Ex = 2k q x(x^2 + a^2)^32 . Portanto, o campo elétrico total é:
Mas precisamos levar em conta a direção e a distância. A componente no eixo é:

Resposta

Portanto, o campo elétrico no eixo Ex = 2k q x(x^2 + a^2)^32 é orientado ao longo desse eixo e possui intensidade:

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