Duas cargas pontuais de 1 mC e -2 mC estão localizadas em (3, 2, -1) e (-1, -1,4, respectivamente. Calcule a força elétrica e o campo elétrico sobre uma carga de 10 nC , localizada em (0,3,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas pontuais: uma de localizada no ponto e outra de no ponto . Queremos calcular a força elétrica e o campo elétrico que atuam sobre uma terceira carga de posicionada em .
Aqui, vamos usar conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para calcular forças entre cargas e a definição de campo elétrico gerado por cargas pontuais. Precisaremos calcular vetores distância, aplicar a fórmula da força elétrica e somar vetorialmente os campos elétricos produzidos por cada carga no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das cargas:
  • Carga em
  • Carga em
  • Carga de teste em

Passo 3

Vamos calcular os vetores posição das cargas rq1 = r - r1 = (0 - 3, 3 - 2, 1 - (-1)) = (-3, 1, 2) e rq2 = r - r2 = (0 - (-1), 3 - (-1), 1 - 4) = (1, 4, -3) em relação à carga de teste :

Passo 4

Agora, calculamos as distâncias entre cada carga e a carga de teste usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
|rq1| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14, m
|rq2| = raiz1^2 + 4^2 + (-3)^2 = raiz1 + 16 + 9 = raiz26, m

Passo 5

Utilizamos agora a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual:
E = ke qr^2 r
Onde:
  • rq1 = rq1|rq1| = (-3, 1, 2)raiz14 = ( -3raiz14, 1raiz14, 2raiz14 ) é a constante eletrostática.
  • rq2 = rq2|rq2| = (1, 4, -3)raiz26 = ( 1raiz26, 4raiz26, -3raiz26 ) é a carga que gera o campo.
  • é a distância entre a carga e o ponto onde o campo está sendo calculado.
  • é o vetor unitário na direção de .
Primeiro, vamos calcular os vetores unitários:

Passo 6

Calculamos os campos elétricos gerados por E1 = ke q1|rq1|^2 rq1 = 8,99 times 10^9 times 1 times 10^-314 ( -3raiz14, 1raiz14, 2raiz14 ) e E2 = ke q2|rq2|^2 rq2 = 8,99 times 10^9 times -2 times 10^-326 ( 1raiz26, 4raiz26, -3raiz26 ) no ponto da carga de teste:

Passo 7

Simplificamos as expressões:
E1 = 8,99 times 10^9 times 1 times 10^-314 ( -3raiz14, 1raiz14, 2raiz14 ) approx 6,42 times 10^5 ( -0,802, 0,267, 0,535 ), N/C
E2 = 8,99 times 10^9 times (-2) times 10^-326 ( 1raiz26, 4raiz26, -3raiz26 ) approx -6,91 times 10^5 ( 0,196, 0,785, -0,589 ), N/C

Passo 8

Agora, somamos vetorialmente os campos elétricos:
Etotal = E1 + E2 approx ( -6,42 times 10^5 times 0,802 + (-6,91 times 10^5 times 0,196), 6,42 times 10^5 times 0,267 + (-6,91 times 10^5 times 0,785), 6,42 times 10^5 times 0,535 + (-6,91 times 10^5 times -0,589) )
Calculando cada componente:
Ex approx -5,15 times 10^5 - 1,35 times 10^5 = -6,50 times 10^5, N/C
Ey approx 1,71 times 10^5 - 5,42 times 10^5 = -3,71 times 10^5, N/C
Ez approx 3,43 times 10^5 + 4,08 times 10^5 = 7,51 times 10^5, N/C
Portanto,
Etotal = (-6,50 times 10^5, -3,71 times 10^5, 7,51 times 10^5), N/C

Passo 9

Para encontrar a força elétrica sobre a carga de teste F = q Etotal = 10 times 10^-9 times (-6,50 times 10^5, -3,71 times 10^5, 7,51 times 10^5), N , usamos a relação:
Fx = 10 times 10^-9 times (-6,50 times 10^5) = -6,50 times 10^-3, N
Calculando cada componente:
Fy = 10 times 10^-9 times (-3,71 times 10^5) = -3,71 times 10^-3, N
Fz = 10 times 10^-9 times 7,51 times 10^5 = 7,51 times 10^-3, N
F = (-6,50 times 10^-3, -3,71 times 10^-3, 7,51 times 10^-3), N
Portanto,

Resposta

A força elétrica sobre a carga de é e o campo elétrico no ponto é .

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