Uma esfera dielétrica ( varepsilonr=5.7 ), de raio 10 cm , tem uma carga pontual de 2 pC colocada em seu centro. Calcule: (a) a densidade superficial de cargas de polarização sobre a superfície da esfera e (b) a força exercida pela carga sobre uma carga pontual de -4 pC localizada sobre a esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera dielétrica com permitividade relativa e raio de 10 cm. No centro dessa esfera, colocamos uma carga pontual de 2 pC. A questão quer que a gente calcule duas coisas:
(a) A densidade superficial de cargas de polarização na superfície da esfera.
(b) A força que essa carga de 2 pC exerce sobre outra carga pontual de -4 pC que está localizada na superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de como as cargas interagem com materiais dielétricos e como a polarização funciona. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Calculando a densidade superficial de cargas de polarização
Primeiro, precisamos entender que quando colocamos uma carga dentro de um material dielétrico, ela induz uma polarização no material. Essa polarização cria cargas nas superfícies do dielétrico. A densidade superficial de carga de polarização ( sigmap = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E ) pode ser relacionada à intensidade do campo elétrico dentro do dielétrico.
A fórmula que vamos usar é:
Onde:
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ),
  • é a permitividade relativa da esfera,
  • é o campo elétrico dentro do dielétrico.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico E = 14 pi varepsilon0 varepsilonr cdot qr^2 dentro da esfera dielétrica. Como a carga está no centro, o campo elétrico dentro de um dielétrico esférico é dado por:
E = 14 pi (8,85 times 10^-12) times 5,7 cdot 2 times 10^-12(0,1)^2
Onde:
  • é a carga pontual (2 pC = C),
  • é a distância do centro, que no caso da superfície da esfera é o raio (0,1 m).
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular 4 pi varepsilon0 varepsilonr = 4 pi times 8,85 times 10^-12 times 5,7 approx 6,37 times 10^-10 , F/m passo a passo:
Primeiro, calculamos o denominador:
q = 2 times 10^-12 , C
Agora, o numerador:
E = 2 times 10^-126,37 times 10^-10 times 0,01 = 2 times 10^-126,37 times 10^-12 approx 0,314 , N/C
E
Então,

Passo 5

Agora que temos sigmap = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E = 8,85 times 10^-12 times (5,7 - 1) times 0,314 , podemos encontrar sigmap = 8,85 times 10^-12 times 4,7 times 0,314 approx 1,31 times 10^-11 , C/m^2 :
Primeiro, calculemos
Então,

Passo 6

Parte (b): Calculando a força exercida pela carga sobre a carga pontual de -4 pC
Agora, queremos saber qual é a força que a carga de 2 pC no centro exerce sobre uma carga de -4 pC na superfície da esfera. Para isso, usamos a Lei de Coulomb:
F = 14 pi varepsilon0 varepsilonr cdot |q1 q2|r^2
Onde:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
F = 14 pi times 8,85 times 10^-12 times 5,7 cdot |2 times 10^-12 times (-4) times 10^-12| (0,1)^2
Calculando o denominador:
4 pi times 8,85 times 10^-12 times 5,7 approx 6,37 times 10^-10 , F/m
Calculando o numerador das cargas:
|2 times 10^-12 times (-4) times 10^-12| = 8 times 10^-24 , C^2
E F = 8 times 10^-246,37 times 10^-10 times 0,01 approx 8 times 10^-246,37 times 10^-12 approx 1,26 times 10^-12 , N
Então,

Resposta

(a) A densidade superficial de cargas de polarização é aproximadamente .
(b) A força exercida pela carga de 2 pC sobre a carga de -4 pC na superfície da esfera é aproximadamente .

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