Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por rho= B.r onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por E=Br^2 /(4 varepsilon0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio onde a carga elétrica está distribuída de forma simétrica ao redor do centro. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante e é a distância do ponto considerado até o centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera, ou seja, para pontos onde . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de carga . Ela nos diz quanta carga está presente por unidade de volume. No nosso caso, , o que significa que a densidade de carga varia linearmente com a distância do centro da esfera.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico ointS E cdot dA = Qinvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio (com ) centrada no mesmo ponto da distribuição de carga.

Passo 4

O próximo passo é calcular a carga total Qin = integral0^r rho cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r B r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi B integral0^r r'^3 dr' dentro da nossa superfície gaussiana. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga Qin = 4pi B [ r'^44 ]0^r = 4pi B cdot r^44 = pi B r^4 sobre o volume da esfera de raio :
Integrando, temos:

Passo 5

Com a carga interna ointS E cdot dA = E cdot 4pi r^2 calculada, voltamos à Lei de Gauss. Sabemos que o campo elétrico E cdot 4pi r^2 = pi B r^4varepsilon0 é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície se simplifica para:
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

Agora, vamos isolar o campo elétrico E = pi B r^44pi r^2 varepsilon0 = B r^24 varepsilon0 :

Resposta

Então, o campo elétrico para pontos internos da esfera é dado por:
E = B r^24 varepsilon0

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