Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por B.r onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio onde a carga elétrica está distribuída de forma simétrica ao redor do centro. A densidade de carga é dada por , onde é uma constante e é a distância do ponto considerado até o centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera, ou seja, para pontos onde . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de carga . Ela nos diz quanta carga está presente por unidade de volume. No nosso caso, , o que significa que a densidade de carga varia linearmente com a distância do centro da esfera.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio (com ) centrada no mesmo ponto da distribuição de carga.

Passo 4

O próximo passo é calcular a carga total dentro da nossa superfície gaussiana. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume da esfera de raio :
Integrando, temos:

Passo 5

Com a carga interna calculada, voltamos à Lei de Gauss. Sabemos que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície se simplifica para:
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

Agora, vamos isolar o campo elétrico :

Resposta

Então, o campo elétrico para pontos internos da esfera é dado por:

Exercícios relacionados

Calcule o livre caminho médio para as moléculas na atmosfera a uma altitude de 2500 km (1 moléculas/ ). Suponha o diâmetro das moléculas de .
Duas cargas positivas estão sobre o eixo dos z com uma delas na origem. Mostre que a variação do campo elétrico a meia distância entre elas é dada por: onde d é a distância entre as cargas.
Uma experiência de Young é realizada com a luz emitida por átomos de hélio excitados ( ) As franjas de interferência são emitidas cuidadosamente sobre uma tela situada a uma distância de do plano das fendas, e verifica-se que a distância entre o centro da vigésima franja brilhante (excluindo da contagem a franja central) e a franja central é igual a . Qual é a distância entre as fendas?
Fazemos um feixe de raios de comprimento de onda igual a 0,154 nm incidir sobre certos planos de um cristal de silicio. A medida que se aumenta o ângulo de incidencia a partir de zero, você encontra o primeiro maximo forte de interferência entre ondas provenientes de planos do cristal quando o feixe forma com esses planos um ângulo de . (a) Qual é a distancia entre esses planos? (b) É possivel encontrar outros máximos de interferéncia para ondas provenientes desses planos para ângulos mais elevados?