Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por
B.r onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio
onde a carga elétrica está distribuída de forma simétrica ao redor do centro. A densidade de carga é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do ponto considerado até o centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
dentro dessa esfera, ou seja, para pontos onde
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de carga
. Ela nos diz quanta carga está presente por unidade de volume. No nosso caso,
, o que significa que a densidade de carga varia linearmente com a distância
do centro da esfera.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico
através de uma superfície fechada
é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante
:
Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio
(com
) centrada no mesmo ponto da distribuição de carga.
Passo 4
O próximo passo é calcular a carga total
dentro da nossa superfície gaussiana. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga
sobre o volume da esfera de raio
:
Integrando, temos:
Passo 5
Com a carga interna
calculada, voltamos à Lei de Gauss. Sabemos que o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície se simplifica para:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
Agora, vamos isolar o campo elétrico
:
Resposta
Então, o campo elétrico para pontos internos da esfera é dado por:
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.
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