Mostre que em um ciclo de Carnot, o produto do maior e do menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários: V1 V3=V2 V4.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica relacionados aos ciclos termodinâmicos, especialmente o ciclo de Carnot, que é composto por duas transformações isotérmicas e duas adiabáticas. Vamos precisar entender um pouco sobre as transformações isotérmicas (onde a temperatura é constante) e adiabáticas (onde não há troca de calor).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o ciclo de Carnot. Ele tem quatro etapas:
  1. Compressão isotérmica: o gás é comprimido de volume para à temperatura .
  2. Compressão adiabática: o gás continua sendo comprimido de para , mas agora a temperatura diminui de para .
  3. Expansão isotérmica: o gás se expande de para à temperatura .
  4. Expansão adiabática: o gás se expande de de volta para , aumentando a temperatura de para .

Passo 3

Nas transformações isotérmicas, a temperatura do gás permanece constante. Para essas etapas, podemos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão , volume e temperatura pela equação , onde é a quantidade de matéria e é a constante dos gases.
Como a temperatura é constante nas etapas isotérmicas, a pressão e o volume estão inversamente relacionados. Ou seja, se o volume aumenta, a pressão diminui, e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar as duas transformações isotérmicas do ciclo de Carnot:
  • Compressão isotérmica: de P1 V1 = P2 V2 para P3 V3 = P4 V4 a .
    Pela Lei dos Gases Ideais:
  • Expansão isotérmica: de para a .
    Novamente, pela Lei dos Gases Ideais:

Passo 5

Agora, vamos considerar as transformações adiabáticas. Nessas, a relação entre pressão e volume é dada por:
P V^gamma = constante
onde P2 V2^gamma = P3 V3^gamma é a razão dos calores específicos.
Aplicando isso aos pontos do ciclo:
  • De P4 V4^gamma = P1 V1^gamma para :
  • De para :
Agora, vamos relacionar as equações das transformações isotérmicas e adiabáticas:
Multiplicando pela relação adiabática e similarmente para , podemos chegar à igualdade .

Resposta

Portanto, demonstramos que em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários: .

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