Mostre que em um ciclo de Carnot, o produto do maior e do menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários: .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica relacionados aos ciclos termodinâmicos, especialmente o ciclo de Carnot, que é composto por duas transformações isotérmicas e duas adiabáticas. Vamos precisar entender um pouco sobre as transformações isotérmicas (onde a temperatura é constante) e adiabáticas (onde não há troca de calor).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o ciclo de Carnot. Ele tem quatro etapas:
  1. Compressão isotérmica: o gás é comprimido de volume para à temperatura .
  2. Compressão adiabática: o gás continua sendo comprimido de para , mas agora a temperatura diminui de para .
  3. Expansão isotérmica: o gás se expande de para à temperatura .
  4. Expansão adiabática: o gás se expande de de volta para , aumentando a temperatura de para .

Passo 3

Nas transformações isotérmicas, a temperatura do gás permanece constante. Para essas etapas, podemos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão , volume e temperatura pela equação , onde é a quantidade de matéria e é a constante dos gases.
Como a temperatura é constante nas etapas isotérmicas, a pressão e o volume estão inversamente relacionados. Ou seja, se o volume aumenta, a pressão diminui, e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar as duas transformações isotérmicas do ciclo de Carnot:
  • Compressão isotérmica: de para a .
    Pela Lei dos Gases Ideais:
  • Expansão isotérmica: de para a .
    Novamente, pela Lei dos Gases Ideais:

Passo 5

Agora, vamos considerar as transformações adiabáticas. Nessas, a relação entre pressão e volume é dada por:
onde é a razão dos calores específicos.
Aplicando isso aos pontos do ciclo:
  • De para :
  • De para :
Agora, vamos relacionar as equações das transformações isotérmicas e adiabáticas:
Multiplicando pela relação adiabática e similarmente para , podemos chegar à igualdade .

Resposta

Portanto, demonstramos que em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários: .

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Calcule os seguintes limites: pto cada item)
(d)
Um mol de gás monoatômico ideal passa do estado inicial, cuja pressão é e volume é , para um estado final de pressão e volume , através de dois processos quase-estáticos diferentes: ele se expande isotermicamente até que seu volume dobre e, em seguida, sua pressão é aumentada a volume constante, até atingir o estado final mencionado; ele é primeiro comprimido isotermicamente até que sua pressão dobre e, em seguida, seu volume é aumentado até o valor final. Desenhe o caminho de cada processo num diagrama ; para cada um deles, e em função de e , calcule:
Mostre que os calores específicos molares dos gases perfeitos podem ser expressos em função de e , obtendo-se e .
Duas cargas puntiformes (de módulos e sinais desconhecidos) estão separadas entre si por uma distância . (a) que condições devem ser satisfeitas para que se tenha em um ponto pertencente à reta que une as cargas, mas não situado entre elas? Onde se localiza este ponto? (b) Será possível determinar dois pontos (não no infinito) onde se tenha para uma disposição qualquer de duas cargas puntiformes? Em caso afirmativo, quais as exigências a serem preenchidas?