Mostre que em um ciclo de Carnot, o produto do maior e do menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários:
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica relacionados aos ciclos termodinâmicos, especialmente o ciclo de Carnot, que é composto por duas transformações isotérmicas e duas adiabáticas. Vamos precisar entender um pouco sobre as transformações isotérmicas (onde a temperatura é constante) e adiabáticas (onde não há troca de calor).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o ciclo de Carnot. Ele tem quatro etapas:
- Compressão isotérmica: o gás é comprimido de volume
para à temperatura . - Compressão adiabática: o gás continua sendo comprimido de
para , mas agora a temperatura diminui de para . - Expansão isotérmica: o gás se expande de
para à temperatura . - Expansão adiabática: o gás se expande de
de volta para , aumentando a temperatura de para .
Passo 3
Nas transformações isotérmicas, a temperatura do gás permanece constante. Para essas etapas, podemos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão
, volume
e temperatura
pela equação
, onde
é a quantidade de matéria e
é a constante dos gases.
Como a temperatura é constante nas etapas isotérmicas, a pressão e o volume estão inversamente relacionados. Ou seja, se o volume aumenta, a pressão diminui, e vice-versa.
Passo 4
Vamos analisar as duas transformações isotérmicas do ciclo de Carnot:
-
Compressão isotérmica: de
para a . Pela Lei dos Gases Ideais: -
Expansão isotérmica: de
para a . Novamente, pela Lei dos Gases Ideais:
Passo 5
Agora, vamos considerar as transformações adiabáticas. Nessas, a relação entre pressão e volume é dada por:
onde
é a razão dos calores específicos.
Aplicando isso aos pontos do ciclo:
-
De
para : -
De
para :
Agora, vamos relacionar as equações das transformações isotérmicas e adiabáticas:
Multiplicando
pela relação adiabática
e similarmente para
, podemos chegar à igualdade
.
Resposta
Portanto, demonstramos que em um ciclo de Carnot, o produto do maior volume pelo menor volume é igual ao produto dos volumes intermediários:
.