Mostre que os calores específicos molares dos gases perfeitos podem ser expressos em função de gamma e R, obtendo-se Cp= gamma R /(gamma-1) e Cv=R /(gamma-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os calores específicos molares dos gases perfeitos podem ser expressos em função de e , chegando às fórmulas e . Vamos usar conceitos de termodinâmica dos gases ideais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito, a relação entre o calor específico a pressão constante ( gamma = CpCv ) e o calor específico a volume constante ( ) é dada por:
Aqui, é o índice adiabático, que caracteriza o gás.

Passo 3

Sabemos também que a diferença entre Cp - Cv = R e é igual à constante universal dos gases ( ):
Essa relação vem da primeira lei da termodinâmica aplicada a processos a pressão constante.

Passo 4

Agora, usando a relação entre Cp = gamma Cv , gamma Cv - Cv = R e , podemos expressar em função de :
Substituindo essa expressão na segunda equação que temos ( ):

Passo 5

Fatorando Cv (gamma - 1) = R na equação acima:
Cv = Rgamma - 1
Agora, isolando :

Passo 6

Com Cp = gamma ( Rgamma - 1 ) = gamma Rgamma - 1 encontrado, voltamos à expressão para encontrar :

Resposta

Portanto, demonstramos que:
Cp = gamma Rgamma - 1 e Cv = Rgamma - 1

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