Mostre que os calores específicos molares dos gases perfeitos podem ser expressos em função de e , obtendo-se e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os calores específicos molares dos gases perfeitos podem ser expressos em função de e , chegando às fórmulas e . Vamos usar conceitos de termodinâmica dos gases ideais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito, a relação entre o calor específico a pressão constante ( ) e o calor específico a volume constante ( ) é dada por:
Aqui, é o índice adiabático, que caracteriza o gás.

Passo 3

Sabemos também que a diferença entre e é igual à constante universal dos gases ( ):
Essa relação vem da primeira lei da termodinâmica aplicada a processos a pressão constante.

Passo 4

Agora, usando a relação entre , e , podemos expressar em função de :
Substituindo essa expressão na segunda equação que temos ( ):

Passo 5

Fatorando na equação acima:
Agora, isolando :

Passo 6

Com encontrado, voltamos à expressão para encontrar :

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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(d)
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