Duas cargas puntiformes positivas, cada uma com módulo q, são fixadas sobre o eixo O y nos pontos y=a e y=-a. Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas.
(a) Faça um diagrama para mostrar as posições das cargas.
(b) Qual é o potencial V0 na origem?
© Mostre que o potencial em qualquer ponto sobre o eixo 0 x é dado por:
V=14 pi varepsilon0 2 qraiza^2+x^2
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Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos duas cargas pontuais positivas, cada uma com o módulo V = 14 pi varepsilon0 2 qraiza^2 + x^2 , posicionadas no eixo nos pontos e . A origem tem potencial zero a uma distância infinita das cargas. Precisamos:
(a) Fazer um diagrama mostrando as posições das cargas.
(b) Calcular o potencial na origem.
© Demonstrar que o potencial em qualquer ponto sobre o eixo é dado por:
Vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a cargas pontuais e geometria para calcular as distâncias envolvidas.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a): Fazer um diagrama para mostrar as posições das cargas.
Imagine um sistema de eixos cartesianos onde o eixo vertical é o e o eixo horizontal é o . As duas cargas positivas estão posicionadas simetricamente em relação à origem:
  • Uma carga está no ponto , ou seja, unidades acima da origem no eixo .
  • A outra carga está no ponto , ou seja, unidades abaixo da origem no eixo .
A origem está exatamente no meio entre as duas cargas.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Calcular o potencial V = 14 pi varepsilon0 cdot qr na origem.
O potencial elétrico devido a uma carga pontual V0 = Vcarga1 + Vcarga2 = 14 pi varepsilon0 cdot qa + 14 pi varepsilon0 cdot qa = 2q4 pi varepsilon0 a a uma distância V0 = q2 pi varepsilon0 a é dado por:
Na origem, ambas as cargas estão a uma distância de nós. Como o potencial é uma quantidade escalar, podemos somar os potenciais das duas cargas:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, vamos para a parte ©: Mostrar que o potencial em qualquer ponto sobre o eixo V = 14 pi varepsilon0 2 qraiza^2 + x^2 é dado por:
r = raiza^2 + x^2
Considere um ponto V1 = 14 pi varepsilon0 cdot qraiza^2 + x^2 no eixo V2 = 14 pi varepsilon0 cdot qraiza^2 + x^2 com coordenada V = V1 + V2 = 2q4 pi varepsilon0 raiza^2 + x^2 = 14 pi varepsilon0 cdot 2 qraiza^2 + x^2 . As duas cargas estão localizadas em e . A distância de cada carga até o ponto é:
O potencial em devido a cada carga é:
Somando os dois potenciais:

Resposta

O potencial em qualquer ponto sobre o eixo V = 14 pi varepsilon0 2 qraiza^2 + x^2 está dado por:

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