Duas cargas puntiformes positivas são mantidas fixas sobre o eixo , nos pontos e . Uma terceira carga puntiforme positiva , com massa , é colocada sobre o eixo próxima à origem, em um ponto tal que . A carga pode mover-se sobre o eixo . (a) Mostre que a carga executa um movimento harmônico simples e calcule a frequência das oscilações. (b) Agora a carga é colocada sobre o eixo , em um ponto tal que , e a seguir liberada. Nesse caso, ela pode mover-se livremente no plano . Explique o que ocorrerá com ela. Ela oscilará?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem duas cargas positivas fixas, , no eixo nos pontos e . Uma terceira carga positiva, , com massa , é colocada perto da origem no eixo , com . Queremos descobrir como essa carga se comporta quando livre para se mover. A matéria envolvida aqui é eletrostática e movimento harmônico simples (MHS). Vamos precisar usar a lei de Coulomb para as forças entre as cargas e os conceitos de MHS para analisar o movimento da carga .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga . Como é positiva e está próxima da origem, ela será repelida pelas duas cargas fixas. A força de repulsão de cada sobre é dada pela lei de Coulomb:
onde é a constante eletrostática e é a distância entre as cargas.

Passo 3

Como está no eixo a uma distância da origem, precisamos calcular a força total resultante. As forças das cargas em e irão se complementar. Vamos considerar que , então podemos simplificar a expressão usando uma aproximação para pequenas displacements.

Passo 4

A distância de para cada é . Como é muito menor que , podemos expandir a expressão usando a aproximação de binômio:

Passo 5

Agora, somamos as duas forças provenientes de cada carga :
Simplificando:

Passo 6

A força resultante está na direção de e proporcional a , ou seja, , onde . Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS), pois a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 7

Para encontrar a frequência das oscilações, usamos a relação da MHS:
A frequência é então:

Resposta

(a) A carga realiza um movimento harmônico simples com frequência .

Exercícios relacionados

Uma esfera condutora oca com raio interno e raio externo possui uma carga puntiforme positiva localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é . (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para , e . (b) Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. © Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.
Duas cargas puntiformes são colocadas sobre o eixo , uma no ponto e outra no ponto . (a) Determine o campo elétrico no ponto . (b) Deduza uma expressão para o campo elétrico (a componente ) em qualquer ponto sobre o eixo . Para facilitar divida a sua análise em três regiões: e . © Faça um gráfico do campo elétrico em função de englobando essas três regiões.
Duplas cargas puntiformes, e , estão separadas por uma distância igual a . O ponto está localizado sobre a reta que passa pelas duas cargas, na metade da distância entre elas. O ponto está a uma distância igual a 0,800 m da carga e a da carga . Considerando o pontencial a uma distância infinita das cargas igual a zero, calcule: (a) o potencial no ponto ; (b) o potencial no ponto ; © o trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga igual a se desloca do ponto até o ponto .
Quatro segmentos de fio de comprimento formam um quadrado de lado . Considerando que no infinito, calcule o potencial elétrico no centro do quadrado nos seguintes casos: (a) os quatro fios possuem carga ; (b) dois fios possuem carga e os outros dois possuem carga . No caso (b), a resposta depende de quais são os fios de carga positiva e quais são os fios de carga negativa? Sugestão: use o resultado para o potencial de um fio feito nas notas de aula.