Duas cargas puntiformes positivas
são mantidas fixas sobre o eixo
, nos pontos
e
. Uma terceira carga puntiforme positiva
, com massa
, é colocada sobre o eixo
próxima à origem, em um ponto
tal que
. A carga
pode mover-se sobre o eixo
. (a) Mostre que a carga
executa um movimento harmônico simples e calcule a frequência das oscilações. (b) Agora a carga
é colocada sobre o eixo
, em um ponto
tal que
, e a seguir liberada. Nesse caso, ela pode mover-se livremente no plano
. Explique o que ocorrerá com ela. Ela oscilará?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem duas cargas positivas fixas,
, no eixo
nos pontos
e
. Uma terceira carga positiva,
, com massa
, é colocada perto da origem no eixo
, com
. Queremos descobrir como essa carga
se comporta quando livre para se mover. A matéria envolvida aqui é eletrostática e movimento harmônico simples (MHS). Vamos precisar usar a lei de Coulomb para as forças entre as cargas e os conceitos de MHS para analisar o movimento da carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga
. Como
é positiva e está próxima da origem, ela será repelida pelas duas cargas
fixas. A força de repulsão de cada
sobre
é dada pela lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática e
é a distância entre as cargas.
Passo 3
Como
está no eixo
a uma distância
da origem, precisamos calcular a força total resultante. As forças das cargas
em
e
irão se complementar. Vamos considerar que
, então podemos simplificar a expressão usando uma aproximação para pequenas displacements.
Passo 4
A distância de
para cada
é
. Como
é muito menor que
, podemos expandir a expressão
usando a aproximação de binômio:
Passo 5
Agora, somamos as duas forças provenientes de cada carga
:
Simplificando:
Passo 6
A força resultante está na direção de
e proporcional a
, ou seja,
, onde
. Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS), pois a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 7
Para encontrar a frequência das oscilações, usamos a relação da MHS:
A frequência
é então:
Resposta
(a) A carga
realiza um movimento harmônico simples com frequência
.