Duas cargas puntiformes positivas Q são mantidas fixas sobre o eixo O x, nos pontos x=a e x=-a. Uma terceira carga puntiforme positiva q, com massa m, é colocada sobre o eixo O x próxima à origem, em um ponto x tal que |x| ll a. A carga q pode mover-se sobre o eixo O x. (a) Mostre que a carga q executa um movimento harmônico simples e calcule a frequência das oscilações. (b) Agora a carga q é colocada sobre o eixo O y, em um ponto y tal que |y| ll a, e a seguir liberada. Nesse caso, ela pode mover-se livremente no plano x y. Explique o que ocorrerá com ela. Ela oscilará?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem duas cargas positivas fixas, , no eixo nos pontos e . Uma terceira carga positiva, , com massa , é colocada perto da origem no eixo , com . Queremos descobrir como essa carga se comporta quando livre para se mover. A matéria envolvida aqui é eletrostática e movimento harmônico simples (MHS). Vamos precisar usar a lei de Coulomb para as forças entre as cargas e os conceitos de MHS para analisar o movimento da carga .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga F = ke Qqr^2 . Como é positiva e está próxima da origem, ela será repelida pelas duas cargas fixas. A força de repulsão de cada sobre é dada pela lei de Coulomb:
onde é a constante eletrostática e é a distância entre as cargas.

Passo 3

Como está no eixo a uma distância da origem, precisamos calcular a força total resultante. As forças das cargas em e irão se complementar. Vamos considerar que , então podemos simplificar a expressão usando uma aproximação para pequenas displacements.

Passo 4

A distância de 1(a pm x)^2 approx 1a^2 (1 mp 2xa) para cada é . Como é muito menor que , podemos expandir a expressão usando a aproximação de binômio:

Passo 5

Agora, somamos as duas forças provenientes de cada carga Ftotal = ke Qq ( 1(a - x)^2 - 1(a + x)^2 ) approx ke Qq ( 1a^2(1 + 2xa) - 1a^2(1 - 2xa) ) :
Ftotal approx ke Qq ( 4xa^3 )
Simplificando:

Passo 6

A força resultante está na direção de e proporcional a , ou seja, , onde . Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS), pois a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 7

Para encontrar a frequência das oscilações, usamos a relação da MHS:
omega = raizkm = raiz4ke Qqm a^3
A frequência f = omega2pi = 12pi raiz4ke Qqm a^3 é então:

Resposta

(a) A carga realiza um movimento harmônico simples com frequência .

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