Duas cargas puntiformes positivas
são mantidas fixas sobre o eixo
, nos pontos
e
. Uma terceira carga puntiforme positiva
, com massa
, é colocada sobre o eixo
próxima à origem, em um ponto
tal que
. A carga
pode mover-se sobre o eixo
. (a) Mostre que a carga
executa um movimento harmônico simples e calcule a frequência das oscilações. (b) Agora a carga
é colocada sobre o eixo
, em um ponto
tal que
, e a seguir liberada. Nesse caso, ela pode mover-se livremente no plano
. Explique o que ocorrerá com ela. Ela oscilará?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem duas cargas positivas fixas,
, no eixo
nos pontos
e
. Uma terceira carga positiva,
, com massa
, é colocada perto da origem no eixo
, com
. Queremos descobrir como essa carga
se comporta quando livre para se mover. A matéria envolvida aqui é eletrostática e movimento harmônico simples (MHS). Vamos precisar usar a lei de Coulomb para as forças entre as cargas e os conceitos de MHS para analisar o movimento da carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga
. Como
é positiva e está próxima da origem, ela será repelida pelas duas cargas
fixas. A força de repulsão de cada
sobre
é dada pela lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática e
é a distância entre as cargas.
Passo 3
Como
está no eixo
a uma distância
da origem, precisamos calcular a força total resultante. As forças das cargas
em
e
irão se complementar. Vamos considerar que
, então podemos simplificar a expressão usando uma aproximação para pequenas displacements.
Passo 4
A distância de
para cada
é
. Como
é muito menor que
, podemos expandir a expressão
usando a aproximação de binômio:
Passo 5
Agora, somamos as duas forças provenientes de cada carga
:
Simplificando:
Passo 6
A força resultante está na direção de
e proporcional a
, ou seja,
, onde
. Isso caracteriza um movimento harmônico simples (MHS), pois a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 7
Para encontrar a frequência das oscilações, usamos a relação da MHS:
A frequência
é então:
Resposta
(a) A carga
realiza um movimento harmônico simples com frequência
.
Exercícios relacionados
Uma esfera condutora oca com raio interno
e raio externo
possui uma carga puntiforme positiva
localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é
. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para
,
e
. (b) Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. © Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.
Duas cargas puntiformes
são colocadas sobre o eixo
, uma no ponto
e outra no ponto
. (a) Determine o campo elétrico no ponto
. (b) Deduza uma expressão para o campo elétrico (a componente
) em qualquer ponto sobre o eixo
. Para facilitar divida a sua análise em três regiões:
e
. © Faça um gráfico do campo elétrico em função de
englobando essas três regiões.
Duplas cargas puntiformes,
e
, estão separadas por uma distância igual a
. O ponto
está localizado sobre a reta que passa pelas duas cargas, na metade da distância entre elas. O ponto
está a uma distância igual a 0,800 m da carga
e a
da carga
. Considerando o pontencial a uma distância infinita das cargas igual a zero, calcule: (a) o potencial no ponto
; (b) o potencial no ponto
; © o trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga igual a
se desloca do ponto
até o ponto
.
Quatro segmentos de fio de comprimento
formam um quadrado de lado
. Considerando que
no infinito, calcule o potencial elétrico no centro do quadrado nos seguintes casos: (a) os quatro fios possuem carga
; (b) dois fios possuem carga
e os outros dois possuem carga
. No caso (b), a resposta depende de quais são os fios de carga positiva e quais são os fios de carga negativa? Sugestão: use o resultado para o potencial de um fio feito nas notas de aula.