Uma esfera condutora oca com raio interno a e raio externo b possui uma carga puntiforme positiva q localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é -3 q. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para r, a e r>b. (b) Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. © Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática que envolve a análise do campo elétrico e da distribuição de cargas em uma esfera condutora oca. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de Gauss e entender como as cargas se distribuem em condutores. Vamos seguir os passos para encontrar as expressões do campo elétrico nas diferentes regiões, determinar as cargas nas superfícies interna e externa da esfera, e descrever o desenho das cargas e das linhas de campo elétrico.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o campo elétrico para diferentes regiões
Primeiro, vamos identificar as regiões onde precisamos determinar o campo elétrico:
  1. Para : Dentro do raio interno da esfera oca.
  2. Para : Entre o raio interno e o raio externo da esfera.
  3. Para : Fora do raio externo da esfera oca.
Para encontrar o campo elétrico em cada região, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de cargas simétrica.

Passo 3

Região 1: oint E cdot dA = qvarepsilon0
Nesta região, estamos dentro da esfera condutora oca e também dentro do raio interno E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 . A única carga presente aqui é a carga puntiforme E = q4pi varepsilon0 r^2 localizada no centro.
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio . O fluxo elétrico através dessa superfície é dado por:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Portanto:
Resolvendo para :

Passo 4

Região 2: E = 0 para a < r < b
Nesta região, estamos dentro da camada condutora da esfera oca, mas fora do raio interno . Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto:

Passo 5

Região 3: Qtotal = q + (-3q) = -2q
Aqui, estamos fora da esfera condutora oca. A carga total da esfera é E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 = -2qvarepsilon0 e há uma carga E = -2q4pi varepsilon0 r^2 = -q2pi varepsilon0 r^2 no centro. A carga total efetiva que contribui para o campo elétrico externo é a soma dessas cargas:
Aplicando novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio :
Resolvendo para :

Passo 6

Parte (b): Determinar as cargas nas superfícies interna e externa da esfera oca
Sabemos que a esfera possui uma carga total de Qinterna + q = 0 implies Qinterna = -q . Vamos distribuir essa carga nas superfícies interna e externa da esfera.
  1. Superfície Interna ( Qexterna = Qtotal - Qinterna = -3q - (-q) = -2q ):
    A carga na superfície interna deve anular a carga pontual no centro para que o campo dentro do condutor seja zero. Portanto:
  2. Superfície Externa ( ):
    A carga total da esfera é . Já temos , então a carga na superfície externa será:

Passo 7

Parte ©: Desenho das cargas e das linhas de campo elétrico
Vamos descrever como seriam as cargas e as linhas de campo elétrico:
  • Cargas:
    • No centro da esfera, temos uma carga puntiforme .
    • Na superfície interna da esfera oca ( ), há uma carga de .
    • Na superfície externa da esfera oca ( ), há uma carga de .
  • Linhas de Campo Elétrico:
    • As linhas de campo partem da carga no centro e terminam na carga da superfície interna.
    • Não há linhas de campo dentro do material condutor ( ) porque o campo elétrico é zero.
    • Fora da esfera ( ), as linhas de campo saem da carga negativa total , indicando que o campo está direcionado para dentro devido à carga negativa.

Resposta

(a) As expressões para o campo elétrico são:
E(r) = dfracq4pi varepsilon0 r^2 & para r < a 0 & para a < r < b dfrac-q2pi varepsilon0 r^2 & para r > b
(b) As cargas são:
  • na superfície interna ( )
  • na superfície externa ( )
© As cargas estão distribuídas com no centro, na superfície interna, e na superfície externa da esfera oca. As linhas de campo elétrico partem do centro, terminam na superfície interna, e linhas de campo externas indicam um campo direcionado para o interior devido à carga externa .

Exercícios relacionados