Vamos resolver um exercício de Eletrostática que envolve a análise do campo elétrico e da distribuição de cargas em uma esfera condutora oca. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de Gauss e entender como as cargas se distribuem em condutores. Vamos seguir os passos para encontrar as expressões do campo elétrico nas diferentes regiões, determinar as cargas nas superfícies interna e externa da esfera, e descrever o desenho das cargas e das linhas de campo elétrico.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o campo elétrico para diferentes regiões
Primeiro, vamos identificar as regiões onde precisamos determinar o campo elétrico:
Para : Dentro do raio interno da esfera oca.
Para : Entre o raio interno e o raio externo da esfera.
Para : Fora do raio externo da esfera oca.
Para encontrar o campo elétrico em cada região, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de cargas simétrica.
Passo 3
Região 1:
Nesta região, estamos dentro da esfera condutora oca e também dentro do raio interno . A única carga presente aqui é a carga puntiforme localizada no centro.
Aplicando a Lei de Gauss, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio . O fluxo elétrico através dessa superfície é dado por:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Portanto:
Resolvendo para :
Passo 4
Região 2:
Nesta região, estamos dentro da camada condutora da esfera oca, mas fora do raio interno . Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto:
Passo 5
Região 3:
Aqui, estamos fora da esfera condutora oca. A carga total da esfera é e há uma carga no centro. A carga total efetiva que contribui para o campo elétrico externo é a soma dessas cargas:
Aplicando novamente a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana de raio :
Resolvendo para :
Passo 6
Parte (b): Determinar as cargas nas superfícies interna e externa da esfera oca
Sabemos que a esfera possui uma carga total de . Vamos distribuir essa carga nas superfícies interna e externa da esfera.
Superfície Interna ():
A carga na superfície interna deve anular a carga pontual no centro para que o campo dentro do condutor seja zero. Portanto:
Superfície Externa ():
A carga total da esfera é . Já temos , então a carga na superfície externa será: