Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes muito finas (cuja espessura pode ser desprezada), têm raios de 3 e , respectivamente. A carga por unidade de comprimento é para a casca interna e para a casca externa. Determine o módulo e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico em (a) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre duas cascas cilíndricas longas e carregadas, que são concêntricas (ou seja, têm o mesmo centro). A casca interna tem raio de 3 metros e carga por unidade de comprimento de . A casca externa tem raio de 6 metros e carga por unidade de comprimento de . Nosso objetivo aqui é determinar o módulo (ou seja, o tamanho) e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico no ponto onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cilindros carregados e a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição das cargas. Temos duas cascas:
  1. Casca interna: raio , carga por unidade de comprimento .
  2. Casca externa: raio , carga por unidade de comprimento .
Estamos interessados no ponto onde , que está entre as duas cascas (pois ).

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com as cascas, com raio e comprimento .

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Apenas a casca interna está dentro dessa superfície, já que a casca externa está a , além de .
A carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
Onde é a área lateral do cilindro gaussiano.
Substituindo :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 6

Isolando :
Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, lembrando que e .

Passo 7

Substituindo os valores na equação:
Calculando o denominador:
Então,

Passo 8

O sinal negativo indica que a direção do campo elétrico é oposta à direção positiva escolhida, que para cargas negativas significa que o campo está apontando para dentro da casca interna.

Resposta

O módulo do campo elétrico em é aproximadamente e o sentido do campo é para dentro.

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