Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes muito finas (cuja espessura pode ser desprezada), têm raios de 3 e 6 m, respectivamente. A carga por unidade de comprimento é -5 mu C / m para a casca interna e 7 mu C / m para a casca externa. Determine o módulo e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico em (a) r=4 m,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre duas cascas cilíndricas longas e carregadas, que são concêntricas (ou seja, têm o mesmo centro). A casca interna tem raio de 3 metros e carga por unidade de comprimento de . A casca externa tem raio de 6 metros e carga por unidade de comprimento de . Nosso objetivo aqui é determinar o módulo (ou seja, o tamanho) e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico no ponto onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cilindros carregados e a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição das cargas. Temos duas cascas:
  1. Casca interna: raio , carga por unidade de comprimento .
  2. Casca externa: raio , carga por unidade de comprimento .
Estamos interessados no ponto onde , que está entre as duas cascas (pois ).

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 ):
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com as cascas, com raio e comprimento .

Passo 4

Agora, vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Apenas a casca interna está dentro dessa superfície, já que a casca externa está a Qdentro = lambda1 cdot L = (-5, mu C/m) cdot L , além de .
A carga total dentro do cilindro gaussiano é:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = Qdentrovarepsilon0
Onde E cdot (2pi r L) = lambda1 Lvarepsilon0 é a área lateral do cilindro gaussiano.
Substituindo E cdot 2pi r = lambda1varepsilon0 :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 6

Isolando E = lambda12pi varepsilon0 r :
Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, lembrando que e .

Passo 7

Substituindo os valores na equação:
E = -5 times 10^-6, C/m2pi times 8,85 times 10^-12, C^2/(N cdot m^2) times 4, m
Calculando o denominador:
2pi times 8,85 times 10^-12 times 4 approx 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 4 approx 2,23 times 10^-10
Então,
E approx -5 times 10^-62,23 times 10^-10 approx -2,24 times 10^4, N/C

Passo 8

O sinal negativo indica que a direção do campo elétrico é oposta à direção positiva escolhida, que para cargas negativas significa que o campo está apontando para dentro da casca interna.

Resposta

O módulo do campo elétrico em é aproximadamente e o sentido do campo é para dentro.

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