Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes muito finas (cuja espessura pode ser desprezada), têm raios de 3 e
, respectivamente. A carga por unidade de comprimento é
para a casca interna e
para a casca externa. Determine o módulo e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico em (a)
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre duas cascas cilíndricas longas e carregadas, que são concêntricas (ou seja, têm o mesmo centro). A casca interna tem raio de 3 metros e carga por unidade de comprimento de
. A casca externa tem raio de 6 metros e carga por unidade de comprimento de
. Nosso objetivo aqui é determinar o módulo (ou seja, o tamanho) e o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico no ponto onde
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cilindros carregados e a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição das cargas. Temos duas cascas:
- Casca interna: raio
, carga por unidade de comprimento . - Casca externa: raio
, carga por unidade de comprimento .
Estamos interessados no ponto onde
, que está entre as duas cascas (pois
).
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com as cascas, com raio
e comprimento
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Apenas a casca interna está dentro dessa superfície, já que a casca externa está a
, além de
.
A carga total dentro do cilindro gaussiano é:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Onde
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Substituindo
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 6
Isolando
:
Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, lembrando que
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na equação:
Calculando o denominador:
Então,
Passo 8
O sinal negativo indica que a direção do campo elétrico é oposta à direção positiva escolhida, que para cargas negativas significa que o campo está apontando para dentro da casca interna.
Resposta
O módulo do campo elétrico em
é aproximadamente
e o sentido do campo é para dentro.
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