Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 3 cm e 6 cm . A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é
, e sobre o cilindro externo é de
. Determine o valor do campo elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a)
e (b)
, onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cascas cilíndricas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios de 3 cm e 6 cm. A casca interna tem uma carga positiva de
C/m e a externa tem uma carga negativa de
C/m. A gente precisa encontrar o campo elétrico em dois pontos: quando a distância
do centro é 4 cm e 8 cm. Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico para
. Esse ponto está entre as duas cascas, já que 4 cm está entre 3 cm e 6 cm.
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo
. Para uma simetria cilíndrica, o campo elétrico
depende apenas da distância radial
e é perpendicular à superfície gaussiana.
A carga dentro da superfície gaussiana a
é apenas a carga da casca interna:
A fórmula para o campo elétrico
em uma distância
de um cilindro longo é:
Substituindo os valores:
Como a carga é positiva, o campo elétrico aponta para fora da casca interna.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico para
. Esse ponto está fora das duas cascas, já que 8 cm é maior que 6 cm.
A carga total dentro da superfície gaussiana a
é a soma das cargas das duas cascas:
Aplicando a fórmula do campo elétrico:
O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta para dentro, já que a carga total é negativa.
Resposta
a) Para
, o campo elétrico é aproximadamente
para fora da casca interna.
b) Para
, o campo elétrico é aproximadamente
para dentro.