(a) O tambor de uma fotocopiar dora tem um comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12 cm. O campo elétrico nas proximidades da superfície do tambor é de 2,3 times 10^5 N / C. Qual é a carga elétrica total do tambor? (b) O fabricante deseja produzir uma versão compacta da máquina. Para isso é necessário reduzir o comprimento do tambor para 28 cm e o diâmetro para 8,0 cm. O campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo. Qual deve ser a carga elétrica total do novo tambor?
( ) (a) 3,2 times 10^-7 C; (b) 1,4 times 10^-7 C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um tambor de fotocopiadora com certas dimensões e um campo elétrico na superfície. O que precisamos é calcular a carga elétrica total desse tambor. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, mais especificamente a lei de Gauss para campos elétricos ao redor de cilindros carregados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o tambor é como um cilindro carregado. A lei de Gauss nos ajuda a relacionar o campo elétrico ao redor de um cilindro com a carga total presente nele. A fórmula que vamos usar é:
E = lambda2pi varepsilon0 r
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a densidade de carga linear (carga por unidade de comprimento),
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ),
  • é o raio do cilindro.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a carga total Q = lambda times L do tambor. Sabemos que:
lambda = 2pi varepsilon0 r E
Onde é o comprimento do tambor. Mas primeiro, precisamos encontrar . Da fórmula do campo elétrico, podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos Q = 2pi varepsilon0 r E L na fórmula da carga total:
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular a carga elétrica total do tambor.

Passo 5

Vamos aplicar os valores do item (a):
  • Comprimento Q = 2pi times 8,85 times 10^-12 times 0,06 times 2,3 times 10^5 times 0,42
  • Diâmetro então o raio
  • Campo elétrico
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular:
Q = 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,06 times 2,3 times 10^5 times 0,42
Calculando passo a passo:
Q approx 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,06 times 2,3 times 10^5 times 0,42 approx 3,2 times 10^-7 , C

Passo 7

Para o item (b), queremos um novo tambor com:
  • Comprimento Q = 2pi times 8,85 times 10^-12 times 0,04 times 2,3 times 10^5 times 0,28
  • Diâmetro então o raio
  • O campo el��trico permanece o mesmo.
Usando a mesma fórmula:

Passo 8

Calculando:
Q = 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,04 times 2,3 times 10^5 times 0,28 approx 1,4 times 10^-7 , C

Resposta

(a) ; (b)

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