Duas cascas condutoras esféricas de raios ra e rb estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais Va e Vb, respectivamente. Se rb>ra, determine o potencial entre as cascas. Utilize a equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas cascas esféricas condutoras, um dentro da outra, com raios e ( ). Elas estão carregadas de maneira que têm potenciais e , respectivamente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico na região entre essas cascas usando a equação de Laplace. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciais elétricos em simetria esférica e como aplicar a equação de Laplace nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace é usada para encontrar o potencial elétrico em regiões onde não tem carga elétrica. A equação de Laplace em coordenadas esféricas, para um potencial que só depende da distância 1r^2 ddr( r^2 dVdr ) = 0 ao centro, fica assim:
Isso porque, entre as cascas, não tem carga.

Passo 3

Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ddr( r^2 dVdr ) = 0 :
r^2 dVdr = C
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos dVdr = Cr^2 :
V(r) = -Cr + D
Integrando novamente em relação a V(r) = Ar + B :
Onde é outra constante de integração. Então, a solução geral para o potencial na região entre as cascas é:
Aqui, substituímos por para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes V(ra) = Va e V(rb) = Vb e Va = Ara + B (1) . Sabemos que:
Vb = Arb + B (2)
Substituindo na equação de :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar Va - Vb = A ( 1ra - 1rb ) e A = Va - Vb1ra - 1rb = (Va - Vb) ra rbrb - ra . Subtraindo a equação (2) da (1):
Va = (Va - Vb) rbrb - ra + B
Isolando B = Va - (Va - Vb) rbrb - ra = Va rb - Va rb + Vb rbrb - ra = Vb rbrb - ra :
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar . Usando a equação (1):
Isolando :

Passo 7

Agora que temos V(r) = (Va - Vb) ra rb(rb - ra) r + Vb rbrb - ra e V(r) = Va ra rb(rb - ra) r - Vb ra rb(rb - ra) r + Vb rbrb - ra , substituímos de volta na expressão de V(r) = Va rarb - ra - Vb rarb - ra + Vb rbrb - ra = Va ra - Vb ra + Vb rbrb - ra :
V(r) = Va rar + Vb ( rb - rarb - ra ) = Va rar + Vb
Simplificando:
Finalmente, combinando os termos:
Ficando:

Resposta

O potencial entre as cascas é dado por:
V(r) = Va rar + Vb ( rb - rrb - ra )

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