Duas cascas condutoras esféricas de raios e estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais , respectivamente. Se , determine o potencial entre as cascas. Utilize a equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas cascas esféricas condutoras, um dentro da outra, com raios e ( ). Elas estão carregadas de maneira que têm potenciais e , respectivamente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico na região entre essas cascas usando a equação de Laplace. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciais elétricos em simetria esférica e como aplicar a equação de Laplace nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace é usada para encontrar o potencial elétrico em regiões onde não tem carga elétrica. A equação de Laplace em coordenadas esféricas, para um potencial que só depende da distância ao centro, fica assim:
Isso porque, entre as cascas, não tem carga.

Passo 3

Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos :
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração. Então, a solução geral para o potencial na região entre as cascas é:
Aqui, substituímos por para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Sabemos que:
Substituindo na equação de :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar e . Subtraindo a equação (2) da (1):
Isolando :
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar . Usando a equação (1):
Isolando :

Passo 7

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão de :
Simplificando:
Finalmente, combinando os termos:
Ficando:

Resposta

O potencial entre as cascas é dado por:

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