Duas cascas condutoras esféricas de raios
e
estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
, respectivamente. Se
, determine o potencial entre as cascas. Utilize a equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas cascas esféricas condutoras, um dentro da outra, com raios
e
(
). Elas estão carregadas de maneira que têm potenciais
e
, respectivamente. A gente precisa encontrar o potencial elétrico na região entre essas cascas usando a equação de Laplace. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciais elétricos em simetria esférica e como aplicar a equação de Laplace nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace é usada para encontrar o potencial elétrico em regiões onde não tem carga elétrica. A equação de Laplace em coordenadas esféricas, para um potencial que só depende da distância
ao centro, fica assim:
Isso porque, entre as cascas, não tem carga.
Passo 3
Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, isolamos
:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração. Então, a solução geral para o potencial na região entre as cascas é:
Aqui, substituímos
por
para simplificar.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
Substituindo na equação de
:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar
e
. Subtraindo a equação (2) da (1):
Isolando
:
Agora, substituímos
em uma das equações para encontrar
. Usando a equação (1):
Isolando
:
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Simplificando:
Finalmente, combinando os termos:
Ficando:
Resposta
O potencial entre as cascas é dado por:
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Usando a função delta de Dirac para distribuições de cargas pontuais, demonstre que o momento de dipolo de um par de cargas pontuais
provém da definição geral
.
Um barco leva
para ir de um ponto
a um ponto
, situados sobre a mesma margem de um rio, deslocando-se no sentido contrário ao da corrente. Quando volta do ponto B ao ponto A , o barco gasta a metade desse tempo. A velocidade do barco em relação à água é constante e igual a
. Calcule (a) a distância AB e (b) a velocidade da correnteza.
Resolva as integrais abaixo
Uma esfera condutora de raio a isolada está situada num campo elétrico inicialmente uniforme,
. Determine o potencial elétrico e o campo elétrico em todos os pontos exteriores à esfera. Determine também a densidade de carga induzida na superfície da esfera.