Usando a função delta de Dirac para distribuições de cargas pontuais, demonstre que o momento de dipolo de um par de cargas pontuais
provém da definição geral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente usar a função delta de Dirac, que ajuda a representar cargas pontuais, para mostrar que o momento de dipolo de um par de cargas pontuais
vem da definição geral
. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo, especificamente sobre momentos de dipolo elétrico e distribuição de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de dipolo elétrico. Ele é uma medida da separação de cargas positivas e negativas em um sistema e é dado por
, onde
é a magnitude da carga e
é o vetor que aponta da carga negativa para a positiva.
Passo 3
Agora, precisamos conectar isso com a definição geral do momento de dipolo, que é uma integral sobre toda a distribuição de carga:
Aqui,
é a densidade de carga na posição
.
Passo 4
Para representar cargas pontuais usando a função delta de Dirac, a densidade de carga
para duas cargas
e
localizadas em posições diferentes fica assim:
Onde
e
são as posições das cargas
e
, respectivamente.
Passo 5
Substituindo essa expressão na definição geral do momento de dipolo, temos:
Passo 6
A propriedade fundamental da função delta de Dirac é que ela “seleciona” o valor da função onde o argumento da delta é zero. Então, as integrais simplificam para:
Passo 7
Se definirmos o vetor
como a separação entre as cargas, então:
Resposta
Assim, mostramos que o momento de dipolo
surge diretamente da definição geral utilizando a função delta de Dirac para representar cargas pontuais.