Usando a função delta de Dirac para distribuições de cargas pontuais, demonstre que o momento de dipolo de um par de cargas pontuais p=q d provém da definição geral p=integral r^prime rho(r^prime) d v^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente usar a função delta de Dirac, que ajuda a representar cargas pontuais, para mostrar que o momento de dipolo de um par de cargas pontuais p=q d vem da definição geral p=integral r^prime rho(r^prime) d v^prime. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo, especificamente sobre momentos de dipolo elétrico e distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de dipolo elétrico. Ele é uma medida da separação de cargas positivas e negativas em um sistema e é dado por p = q d, onde q é a magnitude da carga e d é o vetor que aponta da carga negativa para a positiva.

Passo 3

Agora, precisamos conectar isso com a definição geral do momento de dipolo, que é uma integral sobre toda a distribuição de carga:
p = integral r^prime rho(r^prime) d v^prime
Aqui, rho(r^prime) é a densidade de carga na posição r^prime.

Passo 4

Para representar cargas pontuais usando a função delta de Dirac, a densidade de carga rho(r^prime) para duas cargas +q e -q localizadas em posições diferentes fica assim:
rho(r^prime) = q de
Onde a e b são as posições das cargas +q e -q, respectivamente.

Passo 5

Substituindo essa expressão na definição geral do momento de dipolo, temos:
p = integral r^prime [ q de

Passo 6

A propriedade fundamental da função delta de Dirac é que ela “seleciona” o valor da função onde o argumento da delta é zero. Então, as integrais simplificam para:
p = q a - q b = q (a - b)

Passo 7

Se definirmos o vetor d = a - b como a separação entre as cargas, então:
p = q d

Resposta

Assim, mostramos que o momento de dipolo p=q d surge diretamente da definição geral utilizando a função delta de Dirac para representar cargas pontuais.

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