Duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios R 1 e R 2(R1 estão carregadas com cargas de sinais opostos e módulo q (a casca de raio menor, R1, tem carga +q e a casca de raio maior, R2, tem carga -q). (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico. (sugestão: acompanhe a seção 25-3 no livro do Halliday - Fundamentos de Física, vol. 3, 8ed) (b) Calcule a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema. (Calcule de duas formas: 1 - usando a fórmula de energia dos capacitores, e 2 - usando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas cascas esféricas condutoras que são um pouco como casquinhas de cebola, uma dentro da outra. A casca menor tem raio e está com carga , enquanto a maior tem raio e está com carga . A questão das alíneas (a) e (b) pede pra gente calcular a capacitância desse “capacitor esférico” e a energia associada ao campo elétrico que ele gera. Para isso, vamos precisar entender o que é capacitância, como calcular a energia de um capacitor e também como usar a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanta carga um capacitor pode armazenar por unidade de tensão. No caso de um capacitor esférico, que é formado por essas duas cascas concêntricas, a fórmula para a capacitância C = 4pivarepsilon0 R1 R2R2 - R1 é diferente da dos capacitores planos. Precisamos lembrar que a capacitância de um capacitor esférico é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, um constante que aparece nas leis do eletromagnetismo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Sabemos que C = 4pivarepsilon0 R1 R2R2 - R1 , então podemos simplesmente substituir os valores de e na fórmula para encontrar a capacitância .
Então, a capacitância do nosso capacitor esférico é:
Isso responde a parte (a) da questão.

Passo 4

Vamos passar para a parte (b), que é calcular a energia associada ao campo elétrico desse sistema. A primeira forma é usando a fórmula de energia dos capacitores. A energia U = 12 C V^2 armazenada em um capacitor é dada por:
onde é a diferença de potencial entre as duas casas. Mas como não temos diretamente, podemos relacionar com a carga e a capacitância usando .

Passo 5

Substituindo U = 12 C ( qC )^2 = q^22C na fórmula da energia, temos:
U = q^22C
Então, a energia associada ao campo elétrico usando a fórmula do capacitor é:

Passo 6

A segunda forma de calcular essa energia é usando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade de energia u = 12 varepsilon0 E^2 no campo elétrico é dada por:
onde é o campo elétrico. Para encontrar a energia total, precisamos integrar essa densidade de energia sobre todo o espaço onde o campo está presente.

Passo 7

No caso de um capacitor esférico, o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 qr^2 entre as cascas é radial e pode ser calculado usando a Lei de Coulomb para distribuição esférica de carga:
u = 12 varepsilon0 ( 14pivarepsilon0 qr^2 )^2 = q^232pi^2varepsilon0 r^4
com . Agora, substituímos na expressão da densidade de energia:

Passo 8

Para encontrar a energia total U = integralR1^R2 u cdot 4pi r^2 dr = integralR1^R2 q^232pi^2varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr , integramos U = q^28pivarepsilon0 integralR1^R2 1r^2 dr = q^28pivarepsilon0 ( -1r ) g|R1^R2 = q^28pivarepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) sobre o volume entre e :
Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema é:
U = q^22C = q^28pivarepsilon0 ( 1R1 - 1R2 )

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