Duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios
e
estão carregadas com cargas de sinais opostos e módulo q (a casca de raio menor, R1, tem carga
e a casca de raio maior, R2, tem carga -q). (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico. (sugestão: acompanhe a seção 25-3 no livro do Halliday - Fundamentos de Física, vol. 3, 8ed) (b) Calcule a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema. (Calcule de duas formas: 1 - usando a fórmula de energia dos capacitores, e 2 - usando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas cascas esféricas condutoras que são um pouco como casquinhas de cebola, uma dentro da outra. A casca menor tem raio
e está com carga
, enquanto a maior tem raio
e está com carga
. A questão das alíneas (a) e (b) pede pra gente calcular a capacitância desse “capacitor esférico” e a energia associada ao campo elétrico que ele gera. Para isso, vamos precisar entender o que é capacitância, como calcular a energia de um capacitor e também como usar a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanta carga um capacitor pode armazenar por unidade de tensão. No caso de um capacitor esférico, que é formado por essas duas cascas concêntricas, a fórmula para a capacitância
é diferente da dos capacitores planos. Precisamos lembrar que a capacitância de um capacitor esférico é dada por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, um constante que aparece nas leis do eletromagnetismo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Sabemos que
, então podemos simplesmente substituir os valores de
e
na fórmula para encontrar a capacitância
.
Então, a capacitância do nosso capacitor esférico é:
Isso responde a parte (a) da questão.
Passo 4
Vamos passar para a parte (b), que é calcular a energia associada ao campo elétrico desse sistema. A primeira forma é usando a fórmula de energia dos capacitores. A energia
armazenada em um capacitor é dada por:
onde
é a diferença de potencial entre as duas casas. Mas como não temos
diretamente, podemos relacionar
com a carga
e a capacitância
usando
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da energia, temos:
Então, a energia associada ao campo elétrico usando a fórmula do capacitor é:
Passo 6
A segunda forma de calcular essa energia é usando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade de energia
no campo elétrico é dada por:
onde
é o campo elétrico. Para encontrar a energia total, precisamos integrar essa densidade de energia sobre todo o espaço onde o campo está presente.
Passo 7
No caso de um capacitor esférico, o campo elétrico
entre as cascas é radial e pode ser calculado usando a Lei de Coulomb para distribuição esférica de carga:
com
. Agora, substituímos
na expressão da densidade de energia:
Passo 8
Para encontrar a energia total
, integramos
sobre o volume entre
e
:
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema é: