(H54) Duas placas paralelas de 100 cm^2 de área recebem cargas de mesmo valor absoluto, 8,9 times 10^7 C, e sinais opostos. O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é 1,4 times 10^6 V / m.
(a) Calcule a constante dielétrica do material. (b) Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas placas paralelas com área de 100 , cm^2, cada uma carregada com cargas iguais em módulo, mas de sinais opostos, igual a 8,9 times 10^-7 , C. Entre elas, há um material dielétrico que gera um campo elétrico de 1,4 times 10^6 , V/m. Vamos resolver duas coisas aqui: primeiro, a constante dielétrica desse material, e segundo, a carga induzida nas superfícies do dielétrico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico em dielétricos e a relação entre carga, campo e constante dielétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área das placas de 100 , cm^2 para metros quadrados, porque as unidades padrão do SI usam metros. Sabemos que 1 , cm^2 = 10^-4 , m^2, então:
A = 100 , cm^2 = 100 times 10^-4 , m^2 = 0,01 , m^2

Passo 3

Agora, para encontrar a constante dielétrica ( kappa), vamos lembrar que o campo elétrico no dielétrico é relacionado ao campo elétrico no vácuo ( E0) pela constante dielétrica:
E = E0kappa
Onde E = 1,4 times 10^6 , V/m é o campo no dielétrico.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar E0, o campo elétrico que seria sem o dielétrico. Sabemos que o campo gerado por duas placas carregadas é dado por:
E0 = sigmavarepsilon0
Onde sigma é a densidade de carga e varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Calculamos a densidade de carga ( sigma) dividindo a carga ( Q) pela área ( A):
sigma = QA = 8,9 times 10^-7 , C0,01 , m^2 = 8,9 times 10^-5 , C/m^2

Passo 6

Agora, calculamos E0:
E0 = 8,9 times 10^-5 , C/m^28,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 approx 1,006 times 10^6 , V/m

Passo 7

Sabendo que E = E0 / kappa, podemos rearranjar para encontrar kappa:
kappa = E0E = 1,006 times 10^6 , V/m1,4 times 10^6 , V/m approx 0,718

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a carga induzida ( Qi) nas superfícies do dielétrico. A carga induzida está relacionada à polarização do material dielétrico e pode ser encontrada usando:
Qi = sigmai cdot A
Sabemos que a densidade de carga induzida ( sigmai) é dada por:
sigmai = sigma - varepsilon0 E

Passo 9

Calculando sigmai:
sigmai = 8,9 times 10^-5 , C/m^2 - 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 times 1,4 times 10^6 , V/m approx 8,9 times 10^-5 , C/m^2 - 1,239 times 10^-5 , C/m^2 = 7,661 times 10^-5 , C/m^2

Passo 10

Finalmente, calculamos a carga induzida Qi:
Qi = 7,661 times 10^-5 , C/m^2 times 0,01 , m^2 = 7,661 times 10^-7 , C

Resposta

(a) A constante dielétrica do material é aproximadamente 0,718.
(b) O módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico é 7,661 times 10^-7 , C.

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