(M07) - Um capacitor de placas paralelas de área
e espaçamento
tem, inserida entre elas, uma lâmina de dielétrico de mesma área
, de constante dielétrica
e espessura
. Demonstre que a capacitância do sistema é a mesma que a de um capacitor de espaçamento
, com ar entre as placas, em série com um capacitor de espaçamento
, todo preenchimento com dielétrico de constante dielétrica
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos um capacitor de placas paralelas com área
e distância entre as placas
. Entre essas placas, inserimos uma lâmina de dielétrico com a mesma área
, constante dielétrica
e espessura
, onde
. Nosso objetivo é mostrar que a capacitância desse sistema é equivalente à de dois capacitores em série: um com espaço
preenchido com ar e outro com espaço
preenchido com o dielétrico de constante
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como combinar capacitores em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico (apenas ar) é dada por:
onde:
-
é a capacitância, -
é a permissividade do vácuo, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico, a capacitância aumenta. A nova capacitância com dielétrico é:
onde
é a constante dielétrica do material inserido.
No nosso caso, temos uma lâmina de dielétrico com espessura
e uma parte do espaço entre as placas que permanece com ar, de espessura
.
Passo 3
Vamos modelar o sistema como dois capacitores em série:
- Capacitor com ar: Este capacitor tem a distância entre as placas de
e está preenchido apenas com ar (dielétrico com ). Sua capacitância é:
- Capacitor com dielétrico: Este capacitor tem a distância
e está preenchido com o dielétrico de constante . Sua capacitância é:
Passo 4
Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente
é dada pela fórmula:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Fatorando
:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
Portanto, a capacitância do sistema com a lâmina de dielétrico é igual à capacitância de um capacitor com espaçamento
preenchido com ar em série com um capacitor de espaçamento
preenchido com dielétrico de constante
, ou seja:
Exercícios relacionados
Duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios
e
estão carregadas com cargas de sinais opostos e módulo q (a casca de raio menor, R1, tem carga
e a casca de raio maior, R2, tem carga -q). (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico. (sugestão: acompanhe a seção 25-3 no livro do Halliday - Fundamentos de Física, vol. 3, 8ed) (b) Calcule a energia associada ao campo elétrico gerado pelo sistema. (Calcule de duas formas: 1 - usando a fórmula de energia dos capacitores, e 2 - usando a densidade de energia do campo elétrico.
Uma esfera condutora de raio
encontra-se carregada com uma carga
. Responda os itens abaixo deixando claro seu raciocínio e expresse suas respostas em termos dos parâmetros
e
. (a) Calcule o campo elétrico, tanto dentro quanto fora da esfera, em função de um raio
.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico da esfera. Indique detalhadamente todos os cálculos.
(H54) Duas placas paralelas de
de área recebem cargas de mesmo valor absoluto,
, e sinais opostos. O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é
.
(a) Calcule a constante dielétrica do material. (b) Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico
(a) Calcule a constante dielétrica do material. (b) Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico
Suponha que ao invés de manter a carga constante no problema 4.6 uma bateria, que fornece uma diferença de potencial
, permaneça ligada enquanto o bloco dielétrico é inserido entre as placas do capacitor. Determine (a) a carga total do capacitor em função de
, (b) a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que contém o dielétrico, © a densidade de cargas,
, na porção da placa do capacitor que não contém o dielétrico, (d) o campo elétrico total entre as placas do capacitor na região preenchida pelo dielétrico e, (e) o campo elétrico total no interior do capacitor na região que não está preenchida pelo dielétrico. Comente suas respostas aos itens (a) a (d). (f) Mantendo a bateria ligada, o bloco será puxado para dentro ou para fora do capacitor? Justifique sua resposta e faça considerações acerca da energia acumulada no capacitor antes e depois de inserir a placa dielétrica.