(M07) - Um capacitor de placas paralelas de área
e espaçamento
tem, inserida entre elas, uma lâmina de dielétrico de mesma área
, de constante dielétrica
e espessura
. Demonstre que a capacitância do sistema é a mesma que a de um capacitor de espaçamento
, com ar entre as placas, em série com um capacitor de espaçamento
, todo preenchimento com dielétrico de constante dielétrica
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos um capacitor de placas paralelas com área
e distância entre as placas
. Entre essas placas, inserimos uma lâmina de dielétrico com a mesma área
, constante dielétrica
e espessura
, onde
. Nosso objetivo é mostrar que a capacitância desse sistema é equivalente à de dois capacitores em série: um com espaço
preenchido com ar e outro com espaço
preenchido com o dielétrico de constante
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como combinar capacitores em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico (apenas ar) é dada por:
onde:
-
é a capacitância, -
é a permissividade do vácuo, -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico, a capacitância aumenta. A nova capacitância com dielétrico é:
onde
é a constante dielétrica do material inserido.
No nosso caso, temos uma lâmina de dielétrico com espessura
e uma parte do espaço entre as placas que permanece com ar, de espessura
.
Passo 3
Vamos modelar o sistema como dois capacitores em série:
- Capacitor com ar: Este capacitor tem a distância entre as placas de
e está preenchido apenas com ar (dielétrico com ). Sua capacitância é:
- Capacitor com dielétrico: Este capacitor tem a distância
e está preenchido com o dielétrico de constante . Sua capacitância é:
Passo 4
Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente
é dada pela fórmula:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Fatorando
:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
Portanto, a capacitância do sistema com a lâmina de dielétrico é igual à capacitância de um capacitor com espaçamento
preenchido com ar em série com um capacitor de espaçamento
preenchido com dielétrico de constante
, ou seja: