(M07) - Um capacitor de placas paralelas de área A e espaçamento D tem, inserida entre elas, uma lâmina de dielétrico de mesma área A, de constante dielétrica kappa e espessura d. Demonstre que a capacitância do sistema é a mesma que a de um capacitor de espaçamento D-d, com ar entre as placas, em série com um capacitor de espaçamento d, todo preenchimento com dielétrico de constante dielétrica kappa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos um capacitor de placas paralelas com área e distância entre as placas . Entre essas placas, inserimos uma lâmina de dielétrico com a mesma área , constante dielétrica e espessura , onde . Nosso objetivo é mostrar que a capacitância desse sistema é equivalente à de dois capacitores em série: um com espaço preenchido com ar e outro com espaço preenchido com o dielétrico de constante .
Para resolver isso, vamos precisar entender como os dielétricos afetam a capacitância e como combinar capacitores em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico (apenas ar) é dada por:
C = varepsilon0 AD
onde:
  • C = kappa varepsilon0 AD é a capacitância,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.
Quando inserimos um dielétrico, a capacitância aumenta. A nova capacitância com dielétrico é:
onde é a constante dielétrica do material inserido.
No nosso caso, temos uma lâmina de dielétrico com espessura e uma parte do espaço entre as placas que permanece com ar, de espessura .

Passo 3

Vamos modelar o sistema como dois capacitores em série:
  1. Capacitor com ar: Este capacitor tem a distância entre as placas de C1 = varepsilon0 AD - d e está preenchido apenas com ar (dielétrico com C2 = kappa varepsilon0 Ad ). Sua capacitância é:
  1. Capacitor com dielétrico: Este capacitor tem a distância e está preenchido com o dielétrico de constante . Sua capacitância é:

Passo 4

Quando temos capacitores em série, a capacitância equivalente 1Ceq = 1C1 + 1C2 é dada pela fórmula:
1Ceq = 1varepsilon0 AD - d + 1kappa varepsilon0 Ad = D - dvarepsilon0 A + dkappa varepsilon0 A
Substituindo 1Ceq = 1varepsilon0 A ( D - d + dkappa ) e Ceq = varepsilon0 AD - d + dkappa pelas expressões que encontramos:
Fatorando :
Invertendo para encontrar :

Resposta

Portanto, a capacitância do sistema com a lâmina de dielétrico é igual à capacitância de um capacitor com espaçamento Ceq = varepsilon0 AD - d + dkappa preenchido com ar em série com um capacitor de espaçamento preenchido com dielétrico de constante , ou seja:

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