Em outro experimento, uma bola de massa m e velocidade v colide elasticamente com um bloco de massa M suspenso por um fio e inicialmente em repouso. O bloco então atinge uma altura h2.
Calcule a razão entre as alturas h1 e h2.

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola com massa m e velocidade v que colide de forma elástica com um bloco de massa M, que está suspenso por um fio e está inicialmente parado. Após a colisão, o bloco sobe até uma altura h2. Precisamos calcular a razão entre duas alturas, h1 e h2. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e conservação de momento em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso nos dá duas equações que podemos usar para encontrar a relação entre as velocidades da bola e do bloco após a colisão.

Passo 3

Vamos começar aplicando a conservação do momento. O momento antes da colisão é somente da bola, já que o bloco está parado. Após a colisão, tanto a bola quanto o bloco terão momentos. A equação fica assim:
m v = m v' + M V
Onde v' é a velocidade da bola após a colisão e V é a velocidade do bloco após a colisão.

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão é da bola, e após a colisão é a soma das energias cinéticas da bola e do bloco:
12 m v^2 = 12 m v'^2 + 12 M V^2

Passo 5

Temos agora duas equações com duas incógnitas ( v' e V). Vamos resolver essas equações para encontrar V em termos de v.

Passo 6

Da equação do momento:
m v = m v' + M V Rightarrow v' = v - Mm V

Passo 7

Substituímos v' na equação da energia cinética:
12 m v^2 = 12 m (v - Mm V)^2 + 12 M V^2

Passo 8

Simplificando a equação:
m v^2 = m (v^2 - 2 v Mm V + (Mm)^2 V^2) + M V^2
m v^2 = m v^2 - 2 M V v + M^2m V^2 + M V^2

Passo 9

Cancelamos m v^2 dos dois lados:
0 = -2 M V v + M^2m V^2 + M V^2

Passo 10

Fatoramos V:
0 = V (-2 M v + M^2m V + M V)

Passo 11

Ignoramos a solução trivial V=0 e resolvemos:
-2 M v + M^2m V + M V = 0
(M^2m + M) V = 2 M v
V = 2 M vM (1 + Mm) = 2 v1 + Mm = 2 m vm + M

Passo 12

Agora que temos a velocidade do bloco após a colisão, podemos usar a conservação de energia para encontrar a altura h2. A energia cinética do bloco será convertida em energia potencial:
12 M V^2 = M g h2
h2 = V^22 g
Substituindo V:
h2 = (2 m vm + M)^22 g = 4 m^2 v^22 g (m + M)^2 = 2 m^2 v^2g (m + M)^2

Passo 13

Vamos agora relacionar isso com h1. Supondo que h1 seja a altura correspondente à energia cinética inicial da bola:
12 m v^2 = m g h1 Rightarrow h1 = v^22 g

Passo 14

Finalmente, a razão entre h1 e h2 é:
h1h2 = v^22 g2 m^2 v^2g (m + M)^2 = v^22 g cdot g (m + M)^22 m^2 v^2 = (m + M)^24 m^2

Resposta

A razão entre as alturas h1 e h2 é:
h1h2 = (m + M)^24 m^2

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