Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. O cilindro é solto a partir do repouso.
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido com massa
, raio
e comprimento
. Duas cordas estão presas ao teto e enroladas ao redor do cilindro. Quando soltamos o cilindro do repouso, ele começa a cair. Precisamos descobrir com que aceleração o centro de massa desse cilindro está caindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças e torques na física.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos a força da gravidade puxando o cilindro para baixo, que é
, onde
é a aceleração da gravidade. Além disso, as duas cordas exercem uma força de tensão para cima. Vamos chamar a tensão em cada corda de
, então a força total para cima é
.
Passo 3
A força líquida que atua no cilindro resulta na sua aceleração
. Pela segunda lei de Newton, a força líquida é igual à massa vezes a aceleração:
Passo 4
Agora, vamos considerar o torque causado pelas tensões das cordas. Cada corda exerce um torque
, onde
é o raio do cilindro. Como são duas cordas, o torque total é
. Esse torque causa uma aceleração angular
no cilindro. A relação entre torque, momento de inércia
e aceleração angular é:
Passo 5
Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
E a aceleração angular está relacionada com a aceleração linear pela equação:
Passo 6
Substituindo
e
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à equação da força líquida:
Sabemos de
que
. Substituindo na equação da força:
Passo 8
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A aceleração do centro de massa do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Uma haste uniforme de comprimento
e massa
pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto
). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
momento angular da haste em relação ao ponto
se conserva? Justifique sua resposta.
Uma haste uniforme de comprimento
e massa
pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto
). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
Determine a velocidade linear do centro de massa e a da extremidade da haste quando ela está na posição vertical;
Determine a velocidade linear do centro de massa e a da extremidade da haste quando ela está na posição vertical;
Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. O cilindro é solto a partir do repouso.
Quando o cilindro cai de uma altura , a partir do repouso, qual é a velocidade do seu centro de massa ?
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa e raio
em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é
.
Quando o cilindro cai de uma altura
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa
Escreva expressões: para a velocidade angular (em rad/s)