Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . O cilindro é solto a partir do repouso.
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido com massa , raio e comprimento . Duas cordas estão presas ao teto e enroladas ao redor do cilindro. Quando soltamos o cilindro do repouso, ele começa a cair. Precisamos descobrir com que aceleração o centro de massa desse cilindro está caindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças e torques na física.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos a força da gravidade puxando o cilindro para baixo, que é , onde é a aceleração da gravidade. Além disso, as duas cordas exercem uma força de tensão para cima. Vamos chamar a tensão em cada corda de , então a força total para cima é .

Passo 3

A força líquida que atua no cilindro resulta na sua aceleração . Pela segunda lei de Newton, a força líquida é igual à massa vezes a aceleração:
í

Passo 4

Agora, vamos considerar o torque causado pelas tensões das cordas. Cada corda exerce um torque , onde é o raio do cilindro. Como são duas cordas, o torque total é . Esse torque causa uma aceleração angular no cilindro. A relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular é:

Passo 5

Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
E a aceleração angular está relacionada com a aceleração linear pela equação:

Passo 6

Substituindo e na equação do torque:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos à equação da força líquida:
Sabemos de que . Substituindo na equação da força:

Passo 8

Resolvendo para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A aceleração do centro de massa do cilindro é .

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Escreva expressões: para a velocidade angular (em rad/s)