Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa M, raio R e comprimento L. O cilindro é solto a partir do repouso.
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido com massa M, raio R e comprimento L. Duas cordas estão presas ao teto e enroladas ao redor do cilindro. Quando soltamos o cilindro do repouso, ele começa a cair. Precisamos descobrir com que aceleração o centro de massa desse cilindro está caindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças e torques na física.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no cilindro. Temos a força da gravidade puxando o cilindro para baixo, que é Fg = M g, onde g é a aceleração da gravidade. Além disso, as duas cordas exercem uma força de tensão para cima. Vamos chamar a tensão em cada corda de T, então a força total para cima é 2T.

Passo 3

A força líquida que atua no cilindro resulta na sua aceleração a. Pela segunda lei de Newton, a força líquida é igual à massa vezes a aceleração:
Flíquida = M g - 2T = M a í

Passo 4

Agora, vamos considerar o torque causado pelas tensões das cordas. Cada corda exerce um torque T R, onde R é o raio do cilindro. Como são duas cordas, o torque total é 2T R. Esse torque causa uma aceleração angular alpha no cilindro. A relação entre torque, momento de inércia I e aceleração angular é:
tau = I alpha

Passo 5

Para um cilindro sólido, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
I = 12 M R^2
E a aceleração angular está relacionada com a aceleração linear pela equação:
a = alpha R Rightarrow alpha = aR

Passo 6

Substituindo I e alpha na equação do torque:
2T R = 12 M R^2 cdot aR
2T R = 12 M R a
Simplificando:
4T = M a

Passo 7

Agora, voltamos à equação da força líquida:
M g - 2T = M a
Sabemos de 4T = M a que T = M a4. Substituindo na equação da força:
M g - 2 ( M a4 ) = M a
M g - M a2 = M a

Passo 8

Resolvendo para a:
M g = M a + M a2
M g = 3M a2
Dividindo ambos os lados por 3M2:
a = 23 g

Resposta

A aceleração do centro de massa do cilindro é a = 23 g.

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