Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . O cilindro é solto a partir do repouso.
Quando o cilindro cai de uma altura , a partir do repouso, qual é a velocidade do seu centro de massa ?
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa e raio em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro sólido com massa , raio e comprimento , preso por duas cordas no teto. Esse cilindro é solto do repouso de uma altura , e precisamos descobrir a velocidade do seu centro de massa quando ele cai. Vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, além do momento de inércia que já foi dado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema. Quando o cilindro está no repouso, ele tem energia potencial gravitacional devido à altura . Ao cair, essa energia se transforma em energia cinética do movimento (translação) e energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, a energia cinética final do cilindro tem duas partes:
  1. Energia cinética de translação:
  1. Energia cinética de rotação:
Aqui, é a velocidade do centro de massa e é a velocidade angular do cilindro.

Passo 4

Como as cordas estão enroladas no cilindro, a descida do cilindro faz com que ele gire. A relação entre a velocidade linear e a angular é:

Passo 5

Substituindo na expressão da energia cinética de rotação:

Passo 6

A energia total final é a soma das duas energias cinéticas:

Passo 7

Pela conservação da energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:

Passo 8

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Agora, isolamos :

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade do centro de massa do cilindro quando ele cai é:

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Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa , raio e comprimento . O cilindro é solto a partir do repouso.
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
Uma haste uniforme de comprimento e massa pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto ). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
momento angular da haste em relação ao ponto se conserva? Justifique sua resposta.
Escreva expressões: para a velocidade angular (em rad/s)
Um corpo é lançado verticalmente para cima, de un <br> . Que tempo é necessário para percorrer? <br> a- os primeiros do percurso; <br> b- os últimos de percurso; <br> c- Qual é a energia cinética e potencial <br> ter sido lançado?