Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa M, raio R e comprimento L. O cilindro é solto a partir do repouso.
Quando o cilindro cai de uma altura h, a partir do repouso, qual é a velocidade do seu centro de massa ?
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa M e raio R em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é IC M=(1 / 2) M R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro sólido com massa M, raio R e comprimento L, preso por duas cordas no teto. Esse cilindro é solto do repouso de uma altura h, e precisamos descobrir a velocidade do seu centro de massa quando ele cai. Vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, além do momento de inércia que já foi dado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema. Quando o cilindro está no repouso, ele tem energia potencial gravitacional devido à altura h. Ao cair, essa energia se transforma em energia cinética do movimento (translação) e energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial é dada por:
U = M g h
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, a energia cinética final do cilindro tem duas partes:
  1. Energia cinética de translação:
Ktrans = 12 M v^2
  1. Energia cinética de rotação:
Krot = 12 I omega^2
Aqui, v é a velocidade do centro de massa e omega é a velocidade angular do cilindro.

Passo 4

Como as cordas estão enroladas no cilindro, a descida do cilindro faz com que ele gire. A relação entre a velocidade linear v e a angular omega é:
v = R omega Rightarrow omega = vR

Passo 5

Substituindo omega na expressão da energia cinética de rotação:
Krot = 12 (12 M R^2) (vR)^2 = 14 M v^2

Passo 6

A energia total final é a soma das duas energias cinéticas:
Ktotal = Ktrans + Krot = 12 M v^2 + 14 M v^2 = 34 M v^2

Passo 7

Pela conservação da energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
M g h = 34 M v^2

Passo 8

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por M:
g h = 34 v^2

Passo 9

Agora, isolamos v^2:
v^2 = 43 g h

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar v:
v = raiz43 g h = 2raiz3 raizg h

Resposta

A velocidade do centro de massa do cilindro quando ele cai é:
v = 2raiz3 raizg h

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