Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. O cilindro é solto a partir do repouso.
Quando o cilindro cai de uma altura
, a partir do repouso, qual é a velocidade do seu centro de massa ?
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa
e raio
em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é
.
Quando o cilindro cai de uma altura
Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro sólido com massa
, raio
e comprimento
, preso por duas cordas no teto. Esse cilindro é solto do repouso de uma altura
, e precisamos descobrir a velocidade do seu centro de massa quando ele cai. Vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, além do momento de inércia que já foi dado.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia total do sistema. Quando o cilindro está no repouso, ele tem energia potencial gravitacional devido à altura
. Ao cair, essa energia se transforma em energia cinética do movimento (translação) e energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, a energia cinética final do cilindro tem duas partes:
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação:
Aqui,
é a velocidade do centro de massa e
é a velocidade angular do cilindro.
Passo 4
Como as cordas estão enroladas no cilindro, a descida do cilindro faz com que ele gire. A relação entre a velocidade linear
e a angular
é:
Passo 5
Substituindo
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 6
A energia total final é a soma das duas energias cinéticas:
Passo 7
Pela conservação da energia, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
Passo 8
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade do centro de massa do cilindro quando ele cai é:
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Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa
, raio
e comprimento
. O cilindro é solto a partir do repouso.
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
Uma haste uniforme de comprimento
e massa
pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto
). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
momento angular da haste em relação ao ponto
se conserva? Justifique sua resposta.
Escreva expressões: para a velocidade angular (em rad/s)
Um corpo é lançado verticalmente para cima, de un <br>
. Que tempo é necessário para percorrer? <br> a- os primeiros
do percurso; <br> b- os últimos
de percurso; <br> c- Qual é a energia cinética e potencial
<br> ter sido lançado?