Uma haste uniforme de comprimento L e massa M pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto O ). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
Determine a velocidade linear do centro de massa e a da extremidade da haste quando ela está na posição vertical;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma haste uniforme que pode girar livremente em torno de um ponto fixo. Precisamos descobrir a velocidade linear do centro de massa e da extremidade da haste quando ela passa para a posição vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e conservação de energia. Vamos precisar entender como calcular o momento de inércia e como relacionar a energia potencial com a cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo. A haste está inicialmente na posição horizontal, parada. Quando é solta, ela começa a girar em direção à posição vertical devido à gravidade. Durante esse movimento, a energia potencial gravitacional da haste é convertida em energia cinética rotacional.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial inicial da haste. O centro de massa de uma haste uniforme está no meio, ou seja, a uma distância L/2 do ponto de rotação. A energia potencial é dada por:
U = M cdot g cdot h
onde:
  • M é a massa da haste,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura do centro de massa.
Como a haste está na horizontal, a altura do centro de massa é L/2:
U = M cdot g cdot L2

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética quando a haste está na posição vertical. A energia cinética rotacional é dada por:
K = 12 I omega^2
onde:
  • I é o momento de inércia da haste em relação ao ponto de rotação,
  • omega é a velocidade angular.
Para uma haste uniforme girando em torno de uma das extremidades, o momento de inércia é:
I = 13 M L^2

Passo 5

Vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia potencial inicial se transforma em energia cinética:
M cdot g cdot L2 = 12 cdot 13 M L^2 cdot omega^2
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por M:
g cdot L2 = 16 L^2 cdot omega^2

Passo 6

Agora, vamos isolar omega^2:
omega^2 = 6 g2 L = 3 gL
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
omega = raiz3 gL

Passo 7

Com a velocidade angular omega encontrada, podemos calcular a velocidade linear do centro de massa ( vcm) e da extremidade da haste ( vext). A relaç��o entre velocidade linear e angular é:
v = omega cdot r
onde r é a distância do ponto de rotação.
Para o centro de massa, r = L2:
vcm = omega cdot L2 = raiz3 gL cdot L2 = raiz3 g L2
Para a extremidade da haste, r = L:
vext = omega cdot L = raiz3 gL cdot L = raiz3 g L

Resposta

A velocidade linear do centro de massa é vcm = raiz3 g L2 e a velocidade linear da extremidade da haste é vext = raiz3 g L quando a haste está na posição vertical.

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