Uma haste uniforme de comprimento
e massa
pode rodar livremente em torno de um pino passando por uma das extremidades (ponto
). A haste é abandonada na posição horizontal a partir do repouso.
Determine a velocidade linear do centro de massa e a da extremidade da haste quando ela está na posição vertical;
Determine a velocidade linear do centro de massa e a da extremidade da haste quando ela está na posição vertical;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma haste uniforme que pode girar livremente em torno de um ponto fixo. Precisamos descobrir a velocidade linear do centro de massa e da extremidade da haste quando ela passa para a posição vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e conservação de energia. Vamos precisar entender como calcular o momento de inércia e como relacionar a energia potencial com a cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo. A haste está inicialmente na posição horizontal, parada. Quando é solta, ela começa a girar em direção à posição vertical devido à gravidade. Durante esse movimento, a energia potencial gravitacional da haste é convertida em energia cinética rotacional.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial inicial da haste. O centro de massa de uma haste uniforme está no meio, ou seja, a uma distância
do ponto de rotação. A energia potencial é dada por:
onde:
-
é a massa da haste, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura do centro de massa.
Como a haste está na horizontal, a altura do centro de massa é
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética quando a haste está na posição vertical. A energia cinética rotacional é dada por:
onde:
-
é o momento de inércia da haste em relação ao ponto de rotação, -
é a velocidade angular.
Para uma haste uniforme girando em torno de uma das extremidades, o momento de inércia é:
Passo 5
Vamos usar a conservação de energia, que diz que a energia potencial inicial se transforma em energia cinética:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 7
Com a velocidade angular
encontrada, podemos calcular a velocidade linear do centro de massa (
) e da extremidade da haste (
). A relaç��o entre velocidade linear e angular é:
onde
é a distância do ponto de rotação.
Para o centro de massa,
:
Para a extremidade da haste,
:
Resposta
A velocidade linear do centro de massa é
e a velocidade linear da extremidade da haste é
quando a haste está na posição vertical.