Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto . Na região a velocidade da onda é , enquanto que na região a velocidade da onda é . Uma onda senoidal incide a esquerda ; parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas em duas cordas conectadas no ponto . Na parte da esquerda (), a onda tem velocidade , e na direita (), tem velocidade . Quando uma onda senoidal bate nesse ponto de conexão, parte dela é refletida de volta e parte é transmitida para a outra corda. Nosso objetivo é encontrar a razão , que basicamente nos diz como a amplitude da onda transmitida () se relaciona com a amplitude da onda que chega ().
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função de onda seja contínua em . Isso significa que o deslocamento da onda à esquerda deve ser igual ao deslocamento à direita nesse ponto.
Para :
Para :
Então, igualando os dois:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada espacial da função de onda também seja contínua em . Ou seja, a inclinação da onda à esquerda deve ser igual à inclinação à direita nesse ponto.
Calculando a derivada de em relação a :
Para :
Em :
Para :
Em :
Igualando as derivadas:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos simplificar usando as identidades trigonométricas: e . Assim: