Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto . Na região a velocidade da onda é , enquanto que na região a velocidade da onda é . Uma onda senoidal incide a esquerda ; parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas em duas cordas conectadas no ponto . Na parte da esquerda ( ), a onda tem velocidade , e na direita ( ), tem velocidade . Quando uma onda senoidal bate nesse ponto de conexão, parte dela é refletida de volta e parte é transmitida para a outra corda. Nosso objetivo é encontrar a razão , que basicamente nos diz como a amplitude da onda transmitida ( ) se relaciona com a amplitude da onda que chega ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de onda seja contínua em . Isso significa que o deslocamento da onda à esquerda deve ser igual ao deslocamento à direita nesse ponto.
Para :
Para :
Então, igualando os dois:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada espacial da função de onda também seja contínua em . Ou seja, a inclinação da onda à esquerda deve ser igual à inclinação à direita nesse ponto.
Calculando a derivada de em relação a :
Para :
Em :
Para :
Em :
Igualando as derivadas:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos simplificar usando as identidades trigonométricas: e . Assim:
Substituindo na segunda equação:
Mas estamos procurando . Como :
Usando a relação anterior :

Resposta

A razão é igual a .

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