Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto . Na região a velocidade da onda é , enquanto que na região a velocidade da onda é . Uma onda senoidal incide a esquerda ; parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas em duas cordas conectadas no ponto . Na parte da esquerda (), a onda tem velocidade , e na direita (), tem velocidade . Quando uma onda senoidal bate nesse ponto de conexão, parte dela é refletida de volta e parte é transmitida para a outra corda. Nosso objetivo é encontrar a razão , que basicamente nos diz como a amplitude da onda transmitida () se relaciona com a amplitude da onda que chega ().
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função de onda seja contínua em . Isso significa que o deslocamento da onda à esquerda deve ser igual ao deslocamento à direita nesse ponto.
Para :
Para :
Então, igualando os dois:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada espacial da função de onda também seja contínua em . Ou seja, a inclinação da onda à esquerda deve ser igual à inclinação à direita nesse ponto.
Calculando a derivada de em relação a :
Para :
Em :
Para :
Em :
Igualando as derivadas:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
A sin(-omega t) + B sin(omega t) = C sin(-omega t)
A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(-omega t)
Vamos simplificar usando as identidades trigonométricas: - A sin(omega t) + B sin(omega t) = - C sin(omega t) e (A - B) sin(omega t) = C sin(omega t) . Assim:
C = A - B
A k1 cos(omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
(A + B) k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
(A + B) k1 = C k2
(A + B) k1 = (A - B) k2
A k1 + B k1 = A k2 - B k2
Substituindo A (k1 - k2) = -B (k1 + k2) na segunda equação: