Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto x=0. Na região x<0 a velocidade da onda é v1, enquanto que na região x>0 a velocidade da onda é v2. Uma onda senoidal incide a esquerda (x<0); parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para x<0, o deslocamento da onda é descrido por :
y(x, t)=A sen(k1 x-omega t)+B sen(k1 x+omega t)
No entanto, para x>0, a função de onda é descrita por :
y(x, t)=C sen(k2 x-omega t)
onde v1=omegak1 e v2=omegak2.
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em x=0, encontre quanto vale a razão CA e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de ondas em duas cordas conectadas no ponto . Na parte da esquerda ( ), a onda tem velocidade , e na direita ( ), tem velocidade . Quando uma onda senoidal bate nesse ponto de conexão, parte dela é refletida de volta e parte é transmitida para a outra corda. Nosso objetivo é encontrar a razão , que basicamente nos diz como a amplitude da onda transmitida ( ) se relaciona com a amplitude da onda que chega ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de onda y(0, t) = A sin(-omega t) + B sin(omega t) seja contínua em y(0, t) = C sin(-omega t) . Isso significa que o deslocamento da onda à esquerda deve ser igual ao deslocamento à direita nesse ponto.
Para A sin(-omega t) + B sin(omega t) = C sin(-omega t) :
Para :
Então, igualando os dois:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada espacial da função de onda também seja contínua em partial ypartial x = A k1 cos(k1 x - omega t) + B k1 cos(k1 x + omega t) . Ou seja, a inclinação da onda à esquerda deve ser igual à inclinação à direita nesse ponto.
Calculando a derivada de partial ypartial xg|x=0 = A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) em relação a partial ypartial x = C k2 cos(k2 x - omega t) :
Para partial ypartial xg|x=0 = C k2 cos(-omega t) :
A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(-omega t)
Em :
Para :
Em :
Igualando as derivadas:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
A sin(-omega t) + B sin(omega t) = C sin(-omega t)
A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(-omega t)
Vamos simplificar usando as identidades trigonométricas: - A sin(omega t) + B sin(omega t) = - C sin(omega t) e (A - B) sin(omega t) = C sin(omega t) . Assim:
C = A - B
A k1 cos(omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
(A + B) k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
(A + B) k1 = C k2
(A + B) k1 = (A - B) k2
A k1 + B k1 = A k2 - B k2
Substituindo A (k1 - k2) = -B (k1 + k2) na segunda equação:
A = B (k1 + k2)k2 - k1
CA = A - BA = 1 - BA
BA = k2 - k1k1 + k2
CA = 1 - k2 - k1k1 + k2 = 2 k1k1 + k2
Mas estamos procurando . Como :
Usando a relação anterior :

Resposta

A razão é igual a .

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