Em uma nuvem de gás interestelar a 50,0 K, a pressão é 1,00 times 10^28 Pa. Supondo que os diâmetros das moléculas presentes na nuvem são todos iguais a 20,0 nm, qual é o livre caminho médio das moléculas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma nuvem de gás interestelar com uma certa temperatura e pressão, e diz que as moléculas têm diâmetros iguais. A gente precisa descobrir qual é o livre caminho médio das moléculas, que é basicamente a distância média que uma molécula percorre antes de bater em outra. Para resolver isso, vamos usar a Teoria Cinética dos Gases e a Lei dos Gases Ideais. Vamos precisar das fórmulas para calcular a densidade numérica das moléculas e o caminho livre médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade numérica das moléculas, que é o número de moléculas por unidade de volume. Para isso, usamos a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão §, volume (V), número de moléculas (N), a constante de Boltzmann (k_B) e a temperatura (T):
PV = NkB T
Queremos a densidade numérica n = NV = PkB T , que é . Então, rearranjando a equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a seção de choque sigma = pi d^2 , que é a área efetiva para colisões entre moléculas. Como as moléculas são esferas com diâmetro , a seção de choque é:

Passo 4

Com a densidade numérica lambda = 1raiz2 , n , sigma e a seção de choque calculadas, podemos encontrar o livre caminho médio usando a seguinte fórmula da Teoria Cinética dos Gases:

Passo 5

Vamos agora colocar os valores numéricos:
  • Pressão n = 1,00 times 10^28 , Pa1,38 times 10^-23 , J/K times 50,0 , K
  • Temperatura n approx 1,00 times 10^286,9 times 10^-22
  • Diâmetro das moléculas n approx 1,45 times 10^49 , moléculas/m^3
  • Constante de Boltzmann sigma = pi times (20,0 times 10^-9 , m)^2
Primeiro, calculamos sigma approx 1,26 times 10^-15 , m^2 :
é
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos lambda = 1raiz2 times 1,45 times 10^49 , m^-3 times 1,26 times 10^-15 , m^2 e lambda approx 12,58 times 10^34 na fórmula do livre caminho médio lambda approx 3,88 times 10^-35 , m :

Resposta

O livre caminho médio das moléculas é aproximadamente .

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