Em uma nuvem de gás interestelar a , a pressão é . Supondo que os diâmetros das moléculas presentes na nuvem são todos iguais a , qual é o livre caminho médio das moléculas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma nuvem de gás interestelar com uma certa temperatura e pressão, e diz que as moléculas têm diâmetros iguais. A gente precisa descobrir qual é o livre caminho médio das moléculas, que é basicamente a distância média que uma molécula percorre antes de bater em outra. Para resolver isso, vamos usar a Teoria Cinética dos Gases e a Lei dos Gases Ideais. Vamos precisar das fórmulas para calcular a densidade numérica das moléculas e o caminho livre médio.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade numérica das moléculas, que é o número de moléculas por unidade de volume. Para isso, usamos a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão §, volume (V), número de moléculas (N), a constante de Boltzmann (k_B) e a temperatura (T):
Queremos a densidade numérica , que é . Então, rearranjando a equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a seção de choque , que é a área efetiva para colisões entre moléculas. Como as moléculas são esferas com diâmetro , a seção de choque é:

Passo 4

Com a densidade numérica e a seção de choque calculadas, podemos encontrar o livre caminho médio usando a seguinte fórmula da Teoria Cinética dos Gases:

Passo 5

Vamos agora colocar os valores numéricos:
  • Pressão
  • Temperatura
  • Diâmetro das moléculas
  • Constante de Boltzmann
Primeiro, calculamos :
é
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do livre caminho médio :

Resposta

O livre caminho médio das moléculas é aproximadamente .

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