Mostre que a magnitude do campo magnetico produzido no centro de uma soplia retangular de flo, com comprimento Le largura W, que transporta uma corrente l, t dada por
B=2 mu0 Ipi cdot raizM+WL W
Dica: Use o principio da superposiço para determinar o campo total no centro da espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a magnitude do campo magnético no centro de uma espira retangular de fio, com comprimento B = 2 mu0 Ipi cdot raizL + WL W e largura , que transporta uma corrente , é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o princípio da superposição, que nos permite calcular o campo total somando os campos gerados por cada segmento da espira. Vamos precisar entender como calcular o campo magnético de um fio retilíneo no ponto central e depois somar os efeitos de todos os lados da espira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo em um ponto no seu centro. A fórmula é:
dB = mu0 I4 pi r ( sin theta2 - sin theta1 )
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é a corrente.
  • é a distância do fio até o ponto onde estamos calculando o campo.
  • e são os ângulos que o fio faz em relação ao ponto central.
No caso de uma espira retangular, cada lado contribui com um campo magnético no centro.

Passo 3

Vamos considerar os quatro lados da espira retangular:
  1. Dois lados com comprimento .
  2. Dois lados com largura .
Para cada lado, calcularemos o campo magnético no centro e depois somaremos todas as contribuições.

Passo 4

Para os lados de comprimento BL = mu0 I4 pi (W/2) ( sin(pi2) - sin(-pi2) ) = mu0 I4 pi (W/2) cdot 2 = mu0 Ipi W :
  • A distância do fio ao centro é Btotal,L = 2 cdot mu0 Ipi W = 2 mu0 Ipi W .
  • Os ângulos e vão de a porque o fio está perpendicular à linha que liga o centro ao fio.
Aplicando a fórmula:
Como temos dois lados de comprimento , a contribuição total desses lados é:

Passo 5

Agora, para os lados de largura BW = mu0 I4 pi (L/2) ( sin(pi2) - sin(-pi2) ) = mu0 I4 pi (L/2) cdot 2 = mu0 Ipi L :
  • A distância do fio ao centro é Btotal,W = 2 cdot mu0 Ipi L = 2 mu0 Ipi L .
  • Novamente, os ângulos e são de a .
Aplicando a mesma fórmula:
Com dois lados de largura , a contribuição total é:

Passo 6

Agora, somamos as contribuições dos lados de comprimento Btotal = Btotal,L + Btotal,W = 2 mu0 Ipi W + 2 mu0 Ipi L e dos lados de largura Btotal = 2 mu0 Ipi ( 1W + 1L ) :
Podemos fatorar :

Passo 7

Para combinar os termos dentro dos parênteses, encontramos um denominador comum:
1W + 1L = L + WL W
Substituindo de volta na expressão do campo total:
Btotal = 2 mu0 Ipi cdot L + WL W

Passo 8

No enunciado, há uma expressão com B = 2 mu0 Ipi cdot L + WL W , mas com base no que calculamos, o correto é . Portanto, a expressão correta para a magnitude do campo magnético no centro da espira retangular é:

Resposta

A magnitude do campo magnético no centro da espira retangular é:
B = 2 mu0 Ipi cdot L + WL W

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