Mostre que a magnitude do campo magnetico produzido no centro de uma soplia retangular de flo, com comprimento Le largura W, que transporta uma corrente l, t dada por
Dica: Use o principio da superposiço para determinar o campo total no centro da espira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a magnitude do campo magnético no centro de uma espira retangular de fio, com comprimento
e largura
, que transporta uma corrente
, é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o princípio da superposição, que nos permite calcular o campo total somando os campos gerados por cada segmento da espira. Vamos precisar entender como calcular o campo magnético de um fio retilíneo no ponto central e depois somar os efeitos de todos os lados da espira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do campo magnético gerado por um segmento de fio retilíneo em um ponto no seu centro. A fórmula é:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo. -
é a corrente. -
é a distância do fio até o ponto onde estamos calculando o campo. -
e são os ângulos que o fio faz em relação ao ponto central.
No caso de uma espira retangular, cada lado contribui com um campo magnético no centro.
Passo 3
Vamos considerar os quatro lados da espira retangular:
- Dois lados com comprimento
. - Dois lados com largura
.
Para cada lado, calcularemos o campo magnético no centro e depois somaremos todas as contribuições.
Passo 4
Para os lados de comprimento
:
- A distância do fio ao centro é
. - Os ângulos
e vão de a porque o fio está perpendicular à linha que liga o centro ao fio.
Aplicando a fórmula:
Como temos dois lados de comprimento
, a contribuição total desses lados é:
Passo 5
Agora, para os lados de largura
:
- A distância do fio ao centro é
. - Novamente, os ângulos
e são de a .
Aplicando a mesma fórmula:
Com dois lados de largura
, a contribuição total é:
Passo 6
Agora, somamos as contribuições dos lados de comprimento
e dos lados de largura
:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Para combinar os termos dentro dos parênteses, encontramos um denominador comum:
Substituindo de volta na expressão do campo total:
Passo 8
No enunciado, há uma expressão com
, mas com base no que calculamos, o correto é
. Portanto, a expressão correta para a magnitude do campo magnético no centro da espira retangular é:
Resposta
A magnitude do campo magnético no centro da espira retangular é: