Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade omega em torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é I e o raio da hélice é R. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa m que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade v e fica grudada nela. Qual o momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma hélice feita de quatro tábuas que gira sem atrito em torno do seu centro. A hélice tem um momento de inércia e um raio . A situação muda quando um menino atira uma geléia de massa que bate na hélice com velocidade e fica grudada nela. Nosso objetivo é descobrir qual será o novo momento de inércia da hélice depois que a geléia grudou.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
I = m r^2
Aqui, é a massa e é a distância do ponto ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, a hélice já tem um momento de inércia . Quando a geléia de massa atinge e fica grudada na tábua da hélice, ela também contribui para o momento de inércia total. Como a geléia está no topo da tábua, a distância dela ao eixo de rotação é igual ao raio da hélice .

Passo 4

Então, o momento de inércia da geléia será:
I>=léia = m R^2 é

Passo 5

Para encontrar o momento de inércia total do sistema após a geléia ter grudado na hélice, basta somar o momento de inércia original da hélice com o momento de inércia da geléia:
Itotal = I + I>=léia = I + m R^2 é

Resposta

O momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice é .

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