Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual o momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma hélice feita de quatro tábuas que gira sem atrito em torno do seu centro. A hélice tem um momento de inércia
e um raio
. A situação muda quando um menino atira uma geléia de massa
que bate na hélice com velocidade
e fica grudada nela. Nosso objetivo é descobrir qual será o novo momento de inércia da hélice depois que a geléia grudou.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Aqui,
é a massa e
é a distância do ponto ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, a hélice já tem um momento de inércia
. Quando a geléia de massa
atinge e fica grudada na tábua da hélice, ela também contribui para o momento de inércia total. Como a geléia está no topo da tábua, a distância
dela ao eixo de rotação é igual ao raio da hélice
.
Passo 4
Então, o momento de inércia da geléia será:
Passo 5
Para encontrar o momento de inércia total do sistema após a geléia ter grudado na hélice, basta somar o momento de inércia original da hélice com o momento de inércia da geléia:
Resposta
O momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice é
.