Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual o momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma hélice feita de quatro tábuas que gira sem atrito em torno do seu centro. A hélice tem um momento de inércia
e um raio
. A situação muda quando um menino atira uma geléia de massa
que bate na hélice com velocidade
e fica grudada nela. Nosso objetivo é descobrir qual será o novo momento de inércia da hélice depois que a geléia grudou.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
Aqui,
é a massa e
é a distância do ponto ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, a hélice já tem um momento de inércia
. Quando a geléia de massa
atinge e fica grudada na tábua da hélice, ela também contribui para o momento de inércia total. Como a geléia está no topo da tábua, a distância
dela ao eixo de rotação é igual ao raio da hélice
.
Passo 4
Então, o momento de inércia da geléia será:
Passo 5
Para encontrar o momento de inércia total do sistema após a geléia ter grudado na hélice, basta somar o momento de inércia original da hélice com o momento de inércia da geléia:
Resposta
O momento de inércia do sistema após a geléia ter atingido a hélice é
.
Exercícios relacionados
Duas patinadoras, cada uma com massa igual a
, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas separadas por uma distância
. As patinadoras têm velocidades opostas, de módulo
. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível, segurando-a por uma das extremidades. Quando a outra patinadora passa pela primeira, ela se agarra à extremidade livre da baliza. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo seja desprezível. Qual é a energia cinética do sistema das duas patinadoras?
Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Enquanto o sistema gira, as crianças se aproximam do centro da barra e permanecem numa distância do centro igual à metade da distância anterior. Qual é a nova velocidade angular em termos de
?
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Que importante lei física você usou na resolução do item acima? Por que pôde usá-la?
O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa
e momento de inércia
em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios
e
, respectivamente
. O carretel rola pela rampa de inclinação
, sobre seu eixo de raio
, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura
. Dentre as forças que atuam sobre o carretel ao descer a rampa, quais são capazes de produzir torque sobre o mesmo, em relação ao centro de massa do carretel? (justifique);