Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas crianças, cada uma com massa , que estão nas extremidades de uma barra também com massa e comprimento . A barra está suspensa no centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical no plano horizontal. A gente precisa descobrir como muda a energia cinética do sistema quando as posições das crianças mudam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia cinética de um sistema que está girando depende de quão distribuída está a massa em relação ao eixo de rotação. Isso é calculado usando o momento de inércia ( ). A fórmula geral para a energia cinética de rotação é:
onde é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia total do sistema é a soma do momento de inércia da barra e dos momentos de inércia das duas crianças. Para uma barra de massa e comprimento girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:

Passo 4

Cada criança está a uma distância do centro da barra. O momento de inércia de uma única criança é dado por:
ç
Como são duas crianças, o total será:
ç

Passo 5

Então, o momento de inércia total do sistema é a soma dos dois momentos:
ç

Passo 6

A variação da energia cinética acontece porque a posição das crianças muda, ou seja, a distância delas ao eixo de rotação muda. Supondo que a velocidade angular permaneça constante, a variação na energia cinética será devido à variação no momento de inércia.
Então, a variação na energia cinética ( ) é:

Passo 7

Substituindo na equação acima:
Simplificando:

Resposta

A variação da energia cinética do sistema é dada por:

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