Duas crianças, cada uma com massa M, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento L e massa também M. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas crianças, cada uma com massa M, que estão nas extremidades de uma barra também com massa M e comprimento L. A barra está suspensa no centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical no plano horizontal. A gente precisa descobrir como muda a energia cinética do sistema quando as posições das crianças mudam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia cinética de um sistema que está girando depende de quão distribuída está a massa em relação ao eixo de rotação. Isso é calculado usando o momento de inércia ( I). A fórmula geral para a energia cinética de rotação é:
E = 12 I omega^2
onde omega é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia total do sistema é a soma do momento de inércia da barra e dos momentos de inércia das duas crianças. Para uma barra de massa M e comprimento L girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
Ibarra = 112 M L^2

Passo 4

Cada criança está a uma distância r do centro da barra. O momento de inércia de uma única criança é dado por:
Icriança = M r^2 ç
Como são duas crianças, o total será:
Icrianças = 2 M r^2 ç

Passo 5

Então, o momento de inércia total do sistema é a soma dos dois momentos:
Itotal = Ibarra + Icrianças = 112 M L^2 + 2 M r^2 ç

Passo 6

A variação da energia cinética acontece porque a posição das crianças muda, ou seja, a distância r delas ao eixo de rotação muda. Supondo que a velocidade angular omega permaneça constante, a variação na energia cinética será devido à variação no momento de inércia.
Então, a variação na energia cinética ( De) é:
De

Passo 7

Substituindo Itotal na equação acima:
De
Simplificando:
De
De

Resposta

A variação da energia cinética do sistema é dada por:
De

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