Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas crianças, cada uma com massa
, que estão nas extremidades de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está suspensa no centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical no plano horizontal. A gente precisa descobrir como muda a energia cinética do sistema quando as posições das crianças mudam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia cinética de um sistema que está girando depende de quão distribuída está a massa em relação ao eixo de rotação. Isso é calculado usando o momento de inércia (
). A fórmula geral para a energia cinética de rotação é:
onde
é a velocidade angular.
Passo 3
O momento de inércia total do sistema é a soma do momento de inércia da barra e dos momentos de inércia das duas crianças. Para uma barra de massa
e comprimento
girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
Passo 4
Cada criança está a uma distância
do centro da barra. O momento de inércia de uma única criança é dado por:
Como são duas crianças, o total será:
Passo 5
Então, o momento de inércia total do sistema é a soma dos dois momentos:
Passo 6
A variação da energia cinética acontece porque a posição das crianças muda, ou seja, a distância
delas ao eixo de rotação muda. Supondo que a velocidade angular
permaneça constante, a variação na energia cinética será devido à variação no momento de inércia.
Então, a variação na energia cinética (
) é:
Passo 7
Substituindo
na equação acima:
Simplificando:
Resposta
A variação da energia cinética do sistema é dada por: