Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual o momento angular do sistema formado pela hélice e pela geléia, após o menino ter atirado a geléia, mas antes que esta grude na hélice?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o momento angular de um sistema composto por uma hélice girando e uma geléia que está sendo atirada nela. Estamos trabalhando com conceitos de momento de inércia e momento angular. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam o momento de inércia com a velocidade angular e calcular o momento angular da geléia antes que ela se fixe na hélice.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança no seu estado de rotação. A fórmula geral é:
No nosso caso, a hélice já tem um momento de inércia conhecido, que é
.
Passo 3
Agora, o momento angular (
) de um objeto em rotação é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia -
é a velocidade angular
Para a hélice sozinha, o momento angular é:
Passo 4
Temos também a geléia sendo lançada com massa
e velocidade
. Antes de se fixar na hélice, ela está se movendo na direção perpendicular à hélice a uma distância
do eixo de rotação.
O momento angular da geléia (
) pode ser calculado usando:
Onde:
-
é a massa da geléia -
é a velocidade linear -
é a distância perpendicular ao eixo
No nosso caso:
Passo 5
Como o momento angular é uma quantidade vetorial e ambos os momentos estão na mesma direção (considerando que a geléia está sendo lançada de forma que contribui positivamente para o momento angular), o momento angular total do sistema antes da geléia se fixar é a soma dos dois momentos angulares:
Resposta
O momento angular do sistema formado pela hélice e pela geléia, após o menino ter atirado a geléia, mas antes que esta grude na hélice, é dado por: