Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade omega em torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é I e o raio da hélice é R. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa m que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade v e fica grudada nela. Qual o momento angular do sistema formado pela hélice e pela geléia, após o menino ter atirado a geléia, mas antes que esta grude na hélice?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o momento angular de um sistema composto por uma hélice girando e uma geléia que está sendo atirada nela. Estamos trabalhando com conceitos de momento de inércia e momento angular. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam o momento de inércia com a velocidade angular e calcular o momento angular da geléia antes que ela se fixe na hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança no seu estado de rotação. A fórmula geral é:
I = sum mi ri^2
No nosso caso, a hélice já tem um momento de inércia conhecido, que é .

Passo 3

Agora, o momento angular ( L = I omega ) de um objeto em rotação é dado por:
Lhélice = I omega
Onde:
  • é o momento de inércia
  • é a velocidade angular
Para a hélice sozinha, o momento angular é:
é

Passo 4

Temos também a geléia sendo lançada com massa L = m v r e velocidade L>=léia = m v R . Antes de se fixar na hélice, ela está se movendo na direção perpendicular à hélice a uma distância do eixo de rotação.
O momento angular da geléia ( é) pode ser calculado usando:
Onde:
  • é a massa da geléia
  • é a velocidade linear
  • é a distância perpendicular ao eixo
No nosso caso:
é

Passo 5

Como o momento angular é uma quantidade vetorial e ambos os momentos estão na mesma direção (considerando que a geléia está sendo lançada de forma que contribui positivamente para o momento angular), o momento angular total do sistema antes da geléia se fixar é a soma dos dois momentos angulares:
Ltotal = Lhélice + L>=léia = I omega + m v R éé

Resposta

O momento angular do sistema formado pela hélice e pela geléia, após o menino ter atirado a geléia, mas antes que esta grude na hélice, é dado por:
Ltotal = I omega + m v R

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