Um ioiô tem massa e momento de inércia . O carretel em que se enrola o fio tem raio . Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura utilizando considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ioiô com massa , momento de inércia , e um carretel de raio . Queremos descobrir a velocidade do ioiô depois que ele desce uma altura , começando do repouso. Para isso, vamos usar a dinâmica, que envolve a segunda lei de Newton. Precisamos relacionar o movimento linear do ioiô com a rotação causada pelo fio enrolado no carretel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Quando o ioiô desce, a força da gravidade ( ) puxa ele pra baixo, e a tensão no fio ( ) puxa pra cima. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, é a aceleração linear do ioiô.

Passo 3

Agora, como o fio está enrolado no carretel com raio , a rotação do carretel está ligada à aceleração do ioiô. A segunda lei de Newton para rotação nos diz que o torque ( ) é igual ao momento de inércia ( ) vezes a aceleração angular ( ):
O torque causado pela tensão no fio é:
Então:

Passo 4

Temos duas equações agora:
Também sabemos que a aceleração linear ( ) e a aceleração angular ( ) estão relacionadas pela relação:
Isso porque a tangente ao movimento circular no carretel corresponde ao movimento linear do ioiô.

Passo 5

Vamos substituir na segunda equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos organizar os termos para resolver :
Então:

Passo 7

Agora que temos a aceleração ( ), podemos encontrar a velocidade final ( ) depois que o ioiô desce uma altura . Usamos a equação de movimento:
Como o ioiô parte do repouso, , então:
Substituindo :

Resposta

A velocidade do ioiô após descer a altura é:

Exercícios relacionados

O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa e momento de inércia em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios e , respectivamente . O carretel rola pela rampa de inclinação , sobre seu eixo de raio , partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura . Dentre as forças que atuam sobre o carretel ao descer a rampa, quais são capazes de produzir torque sobre o mesmo, em relação ao centro de massa do carretel? (justifique);
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio e massa . O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa corre com velocidade em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Que importante lei física você usou na resolução do item acima? Por que pôde usá-la?
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é e o raio da hélice é . Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade e fica grudada nela. Qual o momento angular do sistema formado pela hélice e pela geléia, após o menino ter atirado a geléia, mas antes que esta grude na hélice?
Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.