Um ioiô tem massa M e momento de inércia I. O carretel em que se enrola o fio tem raio R. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura h utilizando considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ioiô com massa M, momento de inércia I, e um carretel de raio R. Queremos descobrir a velocidade do ioiô depois que ele desce uma altura h, começando do repouso. Para isso, vamos usar a dinâmica, que envolve a segunda lei de Newton. Precisamos relacionar o movimento linear do ioiô com a rotação causada pelo fio enrolado no carretel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Quando o ioiô desce, a força da gravidade ( Mg) puxa ele pra baixo, e a tensão no fio ( T) puxa pra cima. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Mg - T = M a
Aqui, a é a aceleração linear do ioiô.

Passo 3

Agora, como o fio está enrolado no carretel com raio R, a rotação do carretel está ligada à aceleração do ioiô. A segunda lei de Newton para rotação nos diz que o torque ( tau) é igual ao momento de inércia ( I) vezes a aceleração angular ( alpha):
tau = I alpha
O torque causado pela tensão no fio é:
tau = T R
Então:
T R = I alpha

Passo 4

Temos duas equações agora:
  1. Mg - T = M a
  2. T R = I alpha
Também sabemos que a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha) estão relacionadas pela relação:
a = R alpha
Isso porque a tangente ao movimento circular no carretel corresponde ao movimento linear do ioiô.

Passo 5

Vamos substituir a = R alpha na segunda equação:
T R = I ( aR )
Simplificando:
T = I aR^2

Passo 6

Agora, substituímos T na primeira equação:
Mg - I aR^2 = M a
Vamos organizar os termos para resolver a:
Mg = M a + I aR^2
Mg = a ( M + IR^2 )
Então:
a = MgM + IR^2

Passo 7

Agora que temos a aceleração ( a), podemos encontrar a velocidade final ( v) depois que o ioiô desce uma altura h. Usamos a equação de movimento:
v^2 = v0^2 + 2 a h
Como o ioiô parte do repouso, v0 = 0, então:
v = raiz2 a h
Substituindo a:
v = raiz2 h cdot MgM + IR^2

Resposta

A velocidade do ioiô após descer a altura h é:
v = raiz, dfrac2 M g h,M + dfracIR^2,,

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