Um ioiô tem massa e momento de inércia . O carretel em que se enrola o fio tem raio . Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura utilizando considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ioiô com massa , momento de inércia , e um carretel de raio . Queremos descobrir a velocidade do ioiô depois que ele desce uma altura , começando do repouso. Para isso, vamos usar a dinâmica, que envolve a segunda lei de Newton. Precisamos relacionar o movimento linear do ioiô com a rotação causada pelo fio enrolado no carretel.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Quando o ioiô desce, a força da gravidade () puxa ele pra baixo, e a tensão no fio () puxa pra cima. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, é a aceleração linear do ioiô.
Passo 3
Agora, como o fio está enrolado no carretel com raio , a rotação do carretel está ligada à aceleração do ioiô. A segunda lei de Newton para rotação nos diz que o torque () é igual ao momento de inércia () vezes a aceleração angular ():
O torque causado pela tensão no fio é:
Então:
Passo 4
Temos duas equações agora:
Também sabemos que a aceleração linear () e a aceleração angular () estão relacionadas pela relação:
Isso porque a tangente ao movimento circular no carretel corresponde ao movimento linear do ioiô.
Passo 5
Vamos substituir na segunda equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos organizar os termos para resolver :
Então:
Passo 7
Agora que temos a aceleração (), podemos encontrar a velocidade final () depois que o ioiô desce uma altura . Usamos a equação de movimento: