Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um ioiô com massa
, momento de inércia
, e um carretel de raio
. Queremos descobrir a velocidade do ioiô depois que ele desce uma altura
, começando do repouso. Para isso, vamos usar a dinâmica, que envolve a segunda lei de Newton. Precisamos relacionar o movimento linear do ioiô com a rotação causada pelo fio enrolado no carretel.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Quando o ioiô desce, a força da gravidade (
) puxa ele pra baixo, e a tensão no fio (
) puxa pra cima. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui,
é a aceleração linear do ioiô.
Passo 3
Agora, como o fio está enrolado no carretel com raio
, a rotação do carretel está ligada à aceleração do ioiô. A segunda lei de Newton para rotação nos diz que o torque (
) é igual ao momento de inércia (
) vezes a aceleração angular (
):
O torque causado pela tensão no fio é:
Então:
Passo 4
Temos duas equações agora:
Também sabemos que a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
) estão relacionadas pela relação:
Isso porque a tangente ao movimento circular no carretel corresponde ao movimento linear do ioiô.
Passo 5
Vamos substituir
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação:
Vamos organizar os termos para resolver
:
Então:
Passo 7
Agora que temos a aceleração (
), podemos encontrar a velocidade final (
) depois que o ioiô desce uma altura
. Usamos a equação de movimento:
Como o ioiô parte do repouso,
, então:
Substituindo
:
Resposta
A velocidade do ioiô após descer a altura
é: