A força
com
em metros, age sobre uma partícula, mudando apenas sua energia cinética.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas (
) para (
)?
(b) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas (
(b) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força
que está agindo sobre uma partícula, mudando só a energia cinética dela. O que precisamos fazer:
- Calcular o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move das coordenadas
para . - Verificar se a velocidade da partícula aumenta, diminui ou fica constante.
Vamos precisar usar os conceitos de trabalho realizado por uma força e a relação entre trabalho e energia cinética. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por uma força. O trabalho
é dado pela integral da força ao longo do deslocamento da partícula:
No nosso caso, a força tem componentes em
e
, então vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas iniciais e finais:
- Inicial:
- Final:
Agora, vamos expressar o deslocamento
em termos de
e
:
E a força
é:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, integraremos cada termo separadamente:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
Para a parte em
:
Para a parte em
:
Passo 6
Agora, somamos os dois resultados para obter o trabalho total realizado pela força:
Passo 7
Para a parte (b), vamos lembrar que o trabalho realizado sobre a partícula está relacionado com a variação da energia cinética (
) pela relação:
Como o trabalho realizado
é positivo, isso significa que a energia cinética da partícula aumentou. Portanto, a velocidade da partícula aumentou.
Resposta
(a) O trabalho realizado pela força sobre a partícula é
.
(b) A velocidade da partícula aumenta, já que o trabalho realizado foi positivo, indicando que a energia cinética da partícula aumentou.