A força com em metros, age sobre uma partícula, mudando apenas sua energia cinética.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas ( ) para ( )?
(b) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que está agindo sobre uma partícula, mudando só a energia cinética dela. O que precisamos fazer:
  1. Calcular o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move das coordenadas para .
  2. Verificar se a velocidade da partícula aumenta, diminui ou fica constante.
Vamos precisar usar os conceitos de trabalho realizado por uma força e a relação entre trabalho e energia cinética. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho realizado por uma força. O trabalho é dado pela integral da força ao longo do deslocamento da partícula:
No nosso caso, a força tem componentes em e , então vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas iniciais e finais:
  • Inicial:
  • Final:
Agora, vamos expressar o deslocamento em termos de e :
E a força é:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Agora, integraremos cada termo separadamente:

Passo 5

Vamos resolver cada integral:
Para a parte em :
Para a parte em :

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados para obter o trabalho total realizado pela força:

Passo 7

Para a parte (b), vamos lembrar que o trabalho realizado sobre a partícula está relacionado com a variação da energia cinética ( ) pela relação:
Como o trabalho realizado é positivo, isso significa que a energia cinética da partícula aumentou. Portanto, a velocidade da partícula aumentou.

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força sobre a partícula é .
(b) A velocidade da partícula aumenta, já que o trabalho realizado foi positivo, indicando que a energia cinética da partícula aumentou.

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a) ,
b)
c)
d) e)