Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas desigualdades aqui:
e
. Nosso objetivo é descobrir se essas duas desigualdades são equivalentes, ou seja, se elas têm o mesmo conjunto de soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de inequações e entender como manipular frações com variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a desigualdade
. Essa é uma inequação quadrática simples. Para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição, vamos pensar nos valores de
que tornam
maior que 1.
Passo 3
Sabemos que qualquer número ao quadrado é positivo. Então,
significa que o quadrado de
está acima de 1 na reta numérica. Isso acontece quando
é menor que -1 ou maior que 1. Em outras palavras:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda desigualdade:
. Primeiro, precisamos encontrar os valores de
que fazem essa expressão ser maior que zero.
Passo 5
Para resolver essa inequação, vamos isolar a fração:
Em seguida, somamos 1 em ambos os lados para manter a desigualdade balanceada:
Mas uma maneira mais direta é encontrar o intervalo onde
é positivo.
Passo 6
Para isso, vamos considerar que
(ou seja,
) para evitar divisão por zero. Agora, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por
, lembrando que se
for negativo, a desigualdade muda de sinal:
Passo 7
Mas precisamos considerar os casos onde
é positivo ou negativo:
-
Caso 1:Nessa situação, a solução é
. Mas como já é mais restritivo, as soluções aqui são . -
Caso 2:Multiplicando a desigualdade por um número negativo inverte o sinal:
Passo 8
Então, juntando os dois casos, as soluções para a segunda desigualdade são:
Resposta
As duas desigualdades
e
têm o mesmo conjunto de soluções: todos os números
que são menores que -1 ou maiores que 1. Ou seja,