Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções: x^2 > 1 e 1 + 2/(x - 1) > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas desigualdades aqui: e . Nosso objetivo é descobrir se essas duas desigualdades são equivalentes, ou seja, se elas têm o mesmo conjunto de soluções. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de inequações e entender como manipular frações com variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a desigualdade . Essa é uma inequação quadrática simples. Para encontrar os valores de que satisfazem essa condição, vamos pensar nos valores de que tornam maior que 1.

Passo 3

Sabemos que qualquer número ao quadrado é positivo. Então, significa que o quadrado de está acima de 1 na reta numérica. Isso acontece quando é menor que -1 ou maior que 1. Em outras palavras:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda desigualdade: . Primeiro, precisamos encontrar os valores de que fazem essa expressão ser maior que zero.

Passo 5

Para resolver essa inequação, vamos isolar a fração:
Em seguida, somamos 1 em ambos os lados para manter a desigualdade balanceada:
Mas uma maneira mais direta é encontrar o intervalo onde é positivo.

Passo 6

Para isso, vamos considerar que (ou seja, ) para evitar divisão por zero. Agora, multiplicamos ambos os lados da desigualdade por , lembrando que se for negativo, a desigualdade muda de sinal:

Passo 7

Mas precisamos considerar os casos onde é positivo ou negativo:
  • Caso 1:
    Nessa situação, a solução é . Mas como já é mais restritivo, as soluções aqui são .
  • Caso 2:
    Multiplicando a desigualdade por um número negativo inverte o sinal:

Passo 8

Então, juntando os dois casos, as soluções para a segunda desigualdade são:

Resposta

As duas desigualdades e têm o mesmo conjunto de soluções: todos os números que são menores que -1 ou maiores que 1. Ou seja,

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