Resolva as desigualdades: x^2 > 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade quadrática, que envolve um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar expressões quadráticas e analisar os intervalos onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade para facilitar a resolução:
Isso nos ajuda a identificar uma diferença de quadrados, que é uma técnica de fatoração útil.

Passo 3

A diferença de quadrados pode ser fatorada como . Aplicando isso à nossa expressão:
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que tornam o produto positivo. Para isso, identificamos os pontos críticos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em três intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal do produto em cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • O produto de dois negativos é positivo.
  2. Para :
    • é negativo
    • é positivo
    • O produto de um negativo e um positivo é negativo.
  3. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • O produto de dois positivos é positivo.

Passo 6

Queremos os intervalos onde o produto é positivo:

Resposta

A solução da desigualdade é:
Ou, em notação de intervalos:

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