Duas esferas idênticas com cargas elétricas , a uma distância D uma da outra, se atraem mutuamente. Por meio de uma pinça isolante foram colocadas em contato e, a seguir, afastadas a uma nova distância d, tal que a força de repulsão entre elas tenha o mesmo módulo da força de atração inicial. Para essa situação, determine a razão entre D/d.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas esferas idênticas com cargas elétricas de e , separadas por uma distância . Essas esferas se atraem mutuamente devido às cargas opostas. Depois, usando uma pinça isolante, colocamos as esferas em contato, o que faz com que as cargas se redistribuam igualmente. Em seguida, afastamos as esferas para uma nova distância , de modo que a força de repulsão entre elas seja igual à força de atração inicial. Precisamos determinar a razão entre e , ou seja, .
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre cargas elétricas. Vamos precisar lembrar como as cargas se redistribuem quando condutores idênticos entram em contato.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força de atração inicial entre as duas esferas. Usamos a Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante eletrostática ( ),
  • e são as cargas das esferas,
  • é a distância inicial.
As cargas são e . Substituindo na fórmula:
çã

Passo 3

Agora, vamos considerar o momento em que as esferas são colocadas em contato usando a pinça isolante. Como as esferas são idênticas e condutoras, as cargas se redistribuem igualmente entre elas. A carga total no sistema é:
Como as esferas são iguais, cada uma vai receber metade dessa carga total:
Agora, ambas as esferas têm carga .

Passo 4

Depois de separar as esferas para a nova distância , a força entre elas será de repulsão, já que ambas têm cargas positivas. Usamos novamente a Lei de Coulomb para essa nova força:
ã

Passo 5

A questão nos diz que a força de repulsão ã é igual à força de atração inicial çã:
ãçã
Substituindo as expressões que encontramos:
Como aparece em ambos os lados, ele cancela:

Passo 6

Agora, vamos resolver para a razão . Primeiro, simplificamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A razão entre e é .

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