Duas esferas idênticas com cargas elétricas
, a uma distância D uma da outra, se atraem mutuamente. Por meio de uma pinça isolante foram colocadas em contato e, a seguir, afastadas a uma nova distância d, tal que a força de repulsão entre elas tenha o mesmo módulo da força de atração inicial. Para essa situação, determine a razão entre D/d.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas esferas idênticas com cargas elétricas de
e
, separadas por uma distância
. Essas esferas se atraem mutuamente devido às cargas opostas. Depois, usando uma pinça isolante, colocamos as esferas em contato, o que faz com que as cargas se redistribuam igualmente. Em seguida, afastamos as esferas para uma nova distância
, de modo que a força de repulsão entre elas seja igual à força de atração inicial. Precisamos determinar a razão entre
e
, ou seja,
.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre cargas elétricas. Vamos precisar lembrar como as cargas se redistribuem quando condutores idênticos entram em contato.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a força de atração inicial entre as duas esferas. Usamos a Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante eletrostática ( ), -
e são as cargas das esferas, -
é a distância inicial.
As cargas são
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos considerar o momento em que as esferas são colocadas em contato usando a pinça isolante. Como as esferas são idênticas e condutoras, as cargas se redistribuem igualmente entre elas. A carga total no sistema é:
Como as esferas são iguais, cada uma vai receber metade dessa carga total:
Agora, ambas as esferas têm carga
.
Passo 4
Depois de separar as esferas para a nova distância
, a força entre elas será de repulsão, já que ambas têm cargas positivas. Usamos novamente a Lei de Coulomb para essa nova força:
Passo 5
A questão nos diz que a força de repulsão
é igual à força de atração inicial
:
Substituindo as expressões que encontramos:
Como
aparece em ambos os lados, ele cancela:
Passo 6
Agora, vamos resolver para a razão
. Primeiro, simplificamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A razão entre
e
é
.
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e
para
.
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