Duas esferas pequenas de massa
estão suspensas por fios de comprimento
, que são conectados em um ponto comum. Uma esfera tem carga
e outra tem carga
. Suponha que são pequenos os ângulos
e
que os fios fazem com a vertical.
(b) Mostre que a distância
entre as esferas é dada por
(b) Mostre que a distância
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas esferas de massa
suspensas por fios de comprimento
e conectadas em um ponto comum. Uma esfera tem carga
e a outra tem carga
. Os fios formam pequenos ângulos
e
com a vertical. Queremos encontrar a distância
entre as esferas e demonstrar que ela é aproximadamente dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, força eletrostática e geometria dos triângulos formados pelos fios e pelas esferas.
Passo 2
Vamos começar identificando as forças que atuam em cada esfera. Para cada esfera, temos:
- Força Peso (
): Age para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Tensão no Fio (
): Age ao longo do fio, formando um ângulo com a vertical. - Força Eletrostática (
): Repulsiva entre as cargas das esferas, dada pela Lei de Coulomb:
Onde
é a constante eletrostática,
e
são as cargas das esferas, e
é a distância entre elas.
Passo 3
Como o sistema está em equilíbrio, as forças devem se equilibrar. Para cada esfera, podemos decompor a tensão
em duas componentes:
- Componente Vertical (
): Equilibra o peso . - Componente Horizontal (
): Equilibra a força eletrostática .
Portanto, temos as equações de equilíbrio:
Passo 4
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
, obtemos:
Como os ângulos
são pequenos, podemos aproximar
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos relacionar o ângulo
com a distância
. Considerando que os fios formam um triângulo com as esferas, podemos usar a geometria para expressar
em termos de
e
.
Para pequenos ângulos, a distância horizontal que cada esfera se desloca da vertical é aproximadamente
. Como temos duas esferas, a distância total
entre elas é:
Substituindo a expressão de
:
Passo 6
Substituindo a força eletrostática
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, extraímos a raiz cúbica para isolar
:
Resposta
A distância
entre as esferas é aproximadamente:
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