Duas esferas pequenas de massa m estão suspensas por fios de comprimento l, que são conectados em um ponto comum. Uma esfera tem carga Q e outra tem carga 2 Q. Suponha que são pequenos os ângulos theta1 e theta2 que os fios fazem com a vertical.
(b) Mostre que a distância r entre as esferas é dada por
r approx(4 ke Q^2 lm g)^1 / 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas esferas de massa r approx (4 ke Q^2 lm g)^1 / 3 suspensas por fios de comprimento e conectadas em um ponto comum. Uma esfera tem carga e a outra tem carga . Os fios formam pequenos ângulos e com a vertical. Queremos encontrar a distância entre as esferas e demonstrar que ela é aproximadamente dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, força eletrostática e geometria dos triângulos formados pelos fios e pelas esferas.

Passo 2

Vamos começar identificando as forças que atuam em cada esfera. Para cada esfera, temos:
  1. Força Peso ( Fe = ke Q1 Q2r^2 ): Age para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no Fio ( ): Age ao longo do fio, formando um ângulo com a vertical.
  3. Força Eletrostática ( ): Repulsiva entre as cargas das esferas, dada pela Lei de Coulomb:
Onde é a constante eletrostática, e são as cargas das esferas, e é a distância entre elas.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, as forças devem se equilibrar. Para cada esfera, podemos decompor a tensão T cos theta = m g em duas componentes:
  • Componente Vertical ( T sin theta = Fe ): Equilibra o peso .
  • Componente Horizontal ( ): Equilibra a força eletrostática .
Portanto, temos as equações de equilíbrio:

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar T sin thetaT cos theta = Fem g implies tan theta = Fem g , obtemos:
theta approx Fem g
Como os ângulos são pequenos, podemos aproximar . Assim:

Passo 5

Agora, vamos relacionar o ângulo r approx 2 l theta com a distância r approx 2 l ( Fem g ) . Considerando que os fios formam um triângulo com as esferas, podemos usar a geometria para expressar em termos de e .
Para pequenos ângulos, a distância horizontal que cada esfera se desloca da vertical é aproximadamente . Como temos duas esferas, a distância total entre elas é:
Substituindo a expressão de :

Passo 6

Substituindo a força eletrostática r approx 2 l ( ke Q cdot 2Qr^2m g ) = 2 l ( 2 ke Q^2m g r^2 ) :
r approx 4 ke Q^2 lm g r^2
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para r^3 approx 4 ke Q^2 lm g . Multiplicando ambos os lados por r approx ( 4 ke Q^2 lm g )^1/3 :
Finalmente, extraímos a raiz cúbica para isolar :

Resposta

A distância r approx (4 ke Q^2 lm g)^1 / 3 entre as esferas é aproximadamente:

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