Duas esferas pequenas de massa estão suspensas por fios de comprimento , que são conectados em um ponto comum. Uma esfera tem carga e outra tem carga . Suponha que são pequenos os ângulos e que os fios fazem com a vertical.
(b) Mostre que a distância entre as esferas é dada por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas esferas de massa suspensas por fios de comprimento e conectadas em um ponto comum. Uma esfera tem carga e a outra tem carga . Os fios formam pequenos ângulos e com a vertical. Queremos encontrar a distância entre as esferas e demonstrar que ela é aproximadamente dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças, força eletrostática e geometria dos triângulos formados pelos fios e pelas esferas.

Passo 2

Vamos começar identificando as forças que atuam em cada esfera. Para cada esfera, temos:
  1. Força Peso ( ): Age para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no Fio ( ): Age ao longo do fio, formando um ângulo com a vertical.
  3. Força Eletrostática ( ): Repulsiva entre as cargas das esferas, dada pela Lei de Coulomb:
Onde é a constante eletrostática, e são as cargas das esferas, e é a distância entre elas.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, as forças devem se equilibrar. Para cada esfera, podemos decompor a tensão em duas componentes:
  • Componente Vertical ( ): Equilibra o peso .
  • Componente Horizontal ( ): Equilibra a força eletrostática .
Portanto, temos as equações de equilíbrio:

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar , obtemos:
Como os ângulos são pequenos, podemos aproximar . Assim:

Passo 5

Agora, vamos relacionar o ângulo com a distância . Considerando que os fios formam um triângulo com as esferas, podemos usar a geometria para expressar em termos de e .
Para pequenos ângulos, a distância horizontal que cada esfera se desloca da vertical é aproximadamente . Como temos duas esferas, a distância total entre elas é:
Substituindo a expressão de :

Passo 6

Substituindo a força eletrostática :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, extraímos a raiz cúbica para isolar :

Resposta

A distância entre as esferas é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Um policial dirige seu carro a quando avista um carro vindo em sua direção. O policial aciona um aparelho que emite ondas sonoras com frequência de . Se o aparelho detecta as ondas refletidas pelo carro com frequência de . Considerando que a velocidade do som no ar é igual a , determine a velocidade do carro.
Um filme plástico com indice de refração 1,85 é colocado na superficie de uma janela de carro para aumentar a refletividade e, assim, manter o interior do carro mais fresco. O vidro da janela tem índice de refraçāo 1,52. (a) Qual espessura mínima é necessária se a luz com comprimento de onda de 550 nm no ar refletida dos dois lados do filme interferir construtivamente? (b) É dificil fabricar e instalar revestimentos täo finos quanto os calculados na parte (a). Qual é a próxima maior espessura para a qual também haverá interferència construtiva?
(a) Um litro de gás com está a 273 K e sob pressão de 1,0 atm. Este gás é repentinamente (adiabaticamente) comprimido até a metade do seu volume original. Encontre sua pressão e temperatura final. (b) o gás é agora resfriado até sob pressão constante. Qual é o seu volume final? ( )
Um mol de um gás ideal sofre uma expansão isotérmica. Encontre o fluxo de calor para o gás, em termos dos volumes inicial e final e da temperatura. ( )