Um mol de um gás ideal sofre uma expansão isotérmica. Encontre o fluxo de calor para o gás, em termos dos volumes inicial e final e da temperatura. ( R T ln (Vf / Vi )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um mol de um gás ideal que está passando por uma expansão isotérmica. Isso significa que a temperatura do gás permanece constante durante todo o processo. Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor ( ) que entra ou sai do gás, expressando essa quantidade em termos dos volumes inicial ( ) e final ( ) e da temperatura ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica, especialmente a Primeira Lei da Termodinâmica e a equação dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que é basicamente a lei da conservação de energia para sistemas termodinâmicos. Ela diz que a variação de energia interna ( De) de um sistema é igual ao calor ( ) fornecido ao sistema menos o trabalho ( ) que o sistema realiza sobre o ambiente:

Passo 3

No caso de uma expansão isotérmica de um gás ideal, a temperatura ( De) permanece constante. Para um gás ideal, a energia interna ( ) depende apenas da temperatura. Então, se a temperatura não muda, a variação de energia interna ( ) é zero:

Passo 4

Com 0 = Q - W Rightarrow Q = W , a Primeira Lei da Termodinâmica fica:
Isso significa que o calor fornecido ao gás é igual ao trabalho que o gás realiza durante a expansão.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho ( W = integralVi^Vf P , dV ) realizado por um gás ideal durante uma expansão isotérmica. A fórmula para o trabalho em uma expansão ou compressão isotérmica é:
P = nRTV
Como a temperatura é constante, podemos usar a equação dos gases ideais para substituir a pressão ( ):
Onde:
  • é o número de mols (no caso, 1 mol)
  • é a constante dos gases ideais
  • é a temperatura
  • é o volume

Passo 6

Substituindo W = integralVi^Vf nRTV , dV na expressão do trabalho:
W = nRT integralVi^Vf 1V , dV
Como , e são constantes, podemos tirar esses termos da integral:

Passo 7

A integral de integral 1V , dV = ln V em relação a W = nRT [ ln V ]Vi^Vf = nRT ln ( VfVi ) é o logaritmo natural:
Portanto,

Passo 8

Lembrando que Q = nRT ln ( VfVi ) , então substituímos Q = RT ln ( VfVi ) na expressão do calor:
Como temos 1 mol ( ), a equação simplifica para:

Resposta

O fluxo de calor para o gás é dado por:
Q = RT ln ( VfVi )

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