Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica, , e utilizando as relaçães entre , mostre que .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a velocidade de uma onda harmônica. A expressão inicial é , e a gente vai usar as relações entre o período , a frequência , a velocidade de propagação , e a frequência angular para mostrar que:
  • (a)
  • (b)
Vamos precisar entender como essas grandezas estão relacionadas para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência é o inverso do período , ou seja:
Isso significa que podemos expressar em função de :

Passo 3

Agora, substituímos na expressão original da velocidade da onda:
Mas queremos expressar em termos de e , então rearranjamos a equação:
Essa é a relação que a gente queria mostrar na parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), a gente precisa relacionar a velocidade da onda com a frequência angular e o número de onda . Primeiro, vamos lembrar que:
Essas são as definições de frequência angular e número de onda, respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos expressar e em termos de e :

Passo 6

Substituindo essas expressões na relação que encontramos na parte (a), temos:
Essa é a relação que queríamos demonstrar na parte (b).

Resposta

(a)
(b)

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