Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica, v=lambda T, e utilizando as relaçães entre T, f c omega, mostre que (a) v=lambda rho e(b) v=omega / k.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre a velocidade de uma onda harmônica. A expressão inicial é , e a gente vai usar as relações entre o período , a frequência , a velocidade de propagação , e a frequência angular para mostrar que:
  • (a)
  • (b)
Vamos precisar entender como essas grandezas estão relacionadas para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência f = 1T é o inverso do período T = 1f , ou seja:
Isso significa que podemos expressar em função de :

Passo 3

Agora, substituímos v = lambda T = lambda ( 1f ) = lambdaf na expressão original da velocidade da onda:
v = lambda f
Mas queremos expressar em termos de e , então rearranjamos a equação:
Essa é a relação que a gente queria mostrar na parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), a gente precisa relacionar a velocidade da onda com a frequência angular omega = 2pi f e o número de onda k = 2pilambda . Primeiro, vamos lembrar que:
Essas são as definições de frequência angular e número de onda, respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos expressar f = omega2pi e lambda = 2pik em termos de e :

Passo 6

Substituindo essas expressões na relação v = ( 2pik ) ( omega2pi ) = omegak que encontramos na parte (a), temos:
Essa é a relação que queríamos demonstrar na parte (b).

Resposta

(a)
(b)

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