Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica,
, e utilizando as relaçães entre
, mostre que
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre a velocidade de uma onda harmônica. A expressão inicial é
, e a gente vai usar as relações entre o período
, a frequência
, a velocidade de propagação
, e a frequência angular
para mostrar que:
- (a)
- (b)
Vamos precisar entender como essas grandezas estão relacionadas para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência
é o inverso do período
, ou seja:
Isso significa que podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão original da velocidade da onda:
Mas queremos expressar
em termos de
e
, então rearranjamos a equação:
Essa é a relação que a gente queria mostrar na parte (a).
Passo 4
Para a parte (b), a gente precisa relacionar a velocidade da onda com a frequência angular
e o número de onda
. Primeiro, vamos lembrar que:
Essas são as definições de frequência angular e número de onda, respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos expressar
e
em termos de
e
:
Passo 6
Substituindo essas expressões na relação
que encontramos na parte (a), temos:
Essa é a relação que queríamos demonstrar na parte (b).
Resposta
(a)
(b)