Uma onda de som caminha uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento s do meio a qualquer distância r da fonte:
s=br sin k(r-v t)
onde b é uma constante. Qual é a dimensão da constante b ?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre ondas sonoras que se propagam de forma uniforme em todas as direções a partir de uma fonte pontual. A gente precisa entender por que o deslocamento s = br sin k(r - vt) do meio numa certa distância da fonte é dado pela expressão:
Além disso, tem que descobrir qual é a dimensão da constante . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as ondas se propagam e como as grandezas físicas se relacionam nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ondas esféricas. Quando uma onda, como o som, se propaga a partir de uma fonte pontual em todas as direções, ela forma uma espécie de “bolha” que cresce com o tempo. Essa propagação é uniforme, o que significa que a intensidade da onda diminui conforme nos afastamos da fonte.
Isso acontece porque a energia da onda se distribui por uma área que cresce com o quadrado da distância (já que a área de uma esfera é ). Portanto, a amplitude do deslocamento da onda deve diminuir proporcionalmente a para que a energia total da onda permaneça constante à medida que ela se espalha.

Passo 3

Agora, olhando para a expressão dada:
s = br sin k(r - vt)
Aqui, representa o deslocamento do meio, é uma constante que queremos descobrir a dimensão, é a distância da fonte, é o número de onda, é a velocidade da onda, e é o tempo.
A parte mostra como a amplitude varia com a distância . Como a amplitude deve diminuir com , faz sentido termos essa relação na expressão. O termo representa a natureza periódica da onda, onde é a fase da onda.

Passo 4

Agora, vamos descobrir a dimensão da constante s = br sin k(r - vt) . Sabemos que [b][r] = [L] é um deslocamento, então sua dimensão é de comprimento [b] = [L] times [L] = [L^2] .
A expressão completa é:
Sabendo que o seno é uma função adimensional (não tem unidade), a dimensão de deve ser igual à dimensão de , que é .
Então:
Como também é um comprimento, sua dimensão é . Para que a divisão resulte em , deve ser:

Resposta

A constante tem dimensão de comprimento ao quadrado, ou seja, .

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