Uma onda de som caminha uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento
do meio a qualquer distância
da fonte:
onde
é uma constante. Qual é a dimensão da constante
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre ondas sonoras que se propagam de forma uniforme em todas as direções a partir de uma fonte pontual. A gente precisa entender por que o deslocamento
do meio numa certa distância
da fonte é dado pela expressão:
Além disso, tem que descobrir qual é a dimensão da constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as ondas se propagam e como as grandezas físicas se relacionam nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ondas esféricas. Quando uma onda, como o som, se propaga a partir de uma fonte pontual em todas as direções, ela forma uma espécie de “bolha” que cresce com o tempo. Essa propagação é uniforme, o que significa que a intensidade da onda diminui conforme nos afastamos da fonte.
Isso acontece porque a energia da onda se distribui por uma área que cresce com o quadrado da distância
(já que a área de uma esfera é
). Portanto, a amplitude do deslocamento da onda deve diminuir proporcionalmente a
para que a energia total da onda permaneça constante à medida que ela se espalha.
Passo 3
Agora, olhando para a expressão dada:
Aqui,
representa o deslocamento do meio,
é uma constante que queremos descobrir a dimensão,
é a distância da fonte,
é o número de onda,
é a velocidade da onda, e
é o tempo.
A parte
mostra como a amplitude
varia com a distância
. Como a amplitude deve diminuir com
, faz sentido termos essa relação na expressão. O termo
representa a natureza periódica da onda, onde
é a fase da onda.
Passo 4
Agora, vamos descobrir a dimensão da constante
. Sabemos que
é um deslocamento, então sua dimensão é de comprimento
.
A expressão completa é:
Sabendo que o seno é uma função adimensional (não tem unidade), a dimensão de
deve ser igual à dimensão de
, que é
.
Então:
Como
também é um comprimento, sua dimensão é
. Para que a divisão resulte em
,
deve ser:
Resposta
A constante
tem dimensão de comprimento ao quadrado, ou seja,
.
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