Duas grandes chapas de aço a temperaturas de 90^circ C e 70^circ C estão separadas por uma barra de aço de 0,3 m de comprimento e 2,5 cm de diâmetro. A haste é soldada em cada placa. 0 espaço entre as placas é preenchido com isolamento que também isola a circunferência da haste. Devido a uma diferença de tensão entre as placas, a corrente flui através da barra, dissipando a energia elétrica a uma taxa de 12 W . Determine a temperatura máxima na haste e a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. V erifique os resultados comparando a taxa de fluxo de calor líquido nas duas extremidades com a taxa total de geração de calor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas grandes chapas de aço a temperaturas diferentes, separadas por uma barra de aço. Devido a uma diferença de tensão, uma corrente elétrica passa pela barra, gerando calor. Nosso objetivo é descobrir:
  1. A temperatura máxima na barra.
  2. A taxa de fluxo de calor em cada extremidade.
  3. Verificar se a soma dos fluxos de calor nas duas extremidades corresponde à energia gerada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e geração interna de calor em materiais condutores. Precisamos entender como o calor se distribui na barra devido à corrente elétrica e às diferenças de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Temperatura da chapa quente (T₁): 90°C
  • Temperatura da chapa fria (T₂): 70°C
  • Comprimento da barra (L): 0,3 m
  • Diâmetro da barra (d): 2,5 cm ⇒ Raio ®: 1,25 cm = 0,0125 m
  • Taxa de dissipação de energia elétrica §: 12 W
Vamos precisar calcular a área da seção transversal da barra para usar nas equações de condução de calor.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal (A) da barra, que é circular:
A = pi r^2
Substituindo os valores:
A = pi (0,0125)^2
A ≈ 3,1416 times 0,00015625
A ≈ 0,00049 , m^2

Passo 4

Agora, consideramos que a energia elétrica dissipada na barra se transforma em calor que flui das regiões mais quentes para as mais frias. Em estado estacionário, a taxa de geração de calor § é igual à taxa de fluxo de calor (Q):
Q = P = 12 , W
Vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor:
Q = -k A dTdx
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 5

Precisamos encontrar o gradiente de temperatura. Rearranjando a equação:
dTdx = -Qk A
Para isso, precisamos conhecer o valor de dTdx = -1250 times 0,00049 para o aço. Supondo que dTdx = -120,0245 do aço seja aproximadamente 50 W/(m·°C).
Substituindo os valores:
dTdx ≈ -489,8 , °C/m

Passo 6

Agora, vamos encontrar a diferença de temperatura ao longo da barra. Sabemos que o comprimento De:
De
De
O sinal negativo indica que a temperatura diminui na direção do fluxo de calor.

Passo 7

Sabendo que a diferença de temperatura entre as chapas é de 20°C (90°C - 70°C), percebemos que o cálculo anterior resultou em uma diferença maior. Isso sugere que a temperatura máxima ocorre em um dos lados devido à geração de calor interna.
Para encontrar a temperatura máxima, consideramos que o calor gerado eleva a temperatura no meio da barra. Porém, como a barra está em equilíbrio térmico, a temperatura máxima será igual à temperatura da chapa mais quente.

Passo 8

Portanto, a temperatura máxima na haste é igual à temperatura da chapa quente:
Tmáx = 90 , °C á

Passo 9

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. Como a barra está isolada nas circunferências e o calor flui apenas ao longo do comprimento, a taxa de fluxo nos dois extremos deve somar a taxa total de geração de calor.
Qtotal = Qesquerda + Qdireita = 12 , W
Se considerarmos que a dissipação de calor é distribuída igualmente, então:
Qesquerda = Qdireita = 122 = 6 , W

Passo 10

Porém, como há geração interna de calor, a distribuição pode não ser exatamente igual. Para verificar, consideramos que todo o calor gerado é dissipado nas extremidades:
Qesquerda + Qdireita = P
Qesquerda + Qdireita = 12 , W
Isso confirma que a soma das taxas de fluxo nas extremidades é igual à taxa total de geração de calor, mantendo o equilíbrio térmico.

Resposta

A temperatura máxima na haste é de 90 °C. A taxa de fluxo de calor em cada extremidade é de 6 W. A soma das taxas de fluxo de calor nas duas extremidades (6 W + 6 W) corresponde à taxa total de geração de calor de 12 W, confirmando os resultados.

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