Duas grandes chapas de aço a temperaturas de
e
estão separadas por uma barra de aço de
de comprimento e
de diâmetro. A haste é soldada em cada placa. 0 espaço entre as placas é preenchido com isolamento que também isola a circunferência da haste. Devido a uma diferença de tensão entre as placas, a corrente flui através da barra, dissipando a energia elétrica a uma taxa de 12 W . Determine a temperatura máxima na haste e a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. V erifique os resultados comparando a taxa de fluxo de calor líquido nas duas extremidades com a taxa total de geração de calor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas grandes chapas de aço a temperaturas diferentes, separadas por uma barra de aço. Devido a uma diferença de tensão, uma corrente elétrica passa pela barra, gerando calor. Nosso objetivo é descobrir:
- A temperatura máxima na barra.
- A taxa de fluxo de calor em cada extremidade.
- Verificar se a soma dos fluxos de calor nas duas extremidades corresponde à energia gerada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e geração interna de calor em materiais condutores. Precisamos entender como o calor se distribui na barra devido à corrente elétrica e às diferenças de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Temperatura da chapa quente (T₁): 90°C
- Temperatura da chapa fria (T₂): 70°C
- Comprimento da barra (L): 0,3 m
- Diâmetro da barra (d): 2,5 cm ⇒ Raio ®: 1,25 cm = 0,0125 m
- Taxa de dissipação de energia elétrica §: 12 W
Vamos precisar calcular a área da seção transversal da barra para usar nas equações de condução de calor.
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal (A) da barra, que é circular:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, consideramos que a energia elétrica dissipada na barra se transforma em calor que flui das regiões mais quentes para as mais frias. Em estado estacionário, a taxa de geração de calor § é igual à taxa de fluxo de calor (Q):
Vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor:
Onde:
-
é a taxa de fluxo de calor, -
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é o gradiente de temperatura.
Passo 5
Precisamos encontrar o gradiente de temperatura. Rearranjando a equação:
Para isso, precisamos conhecer o valor de
para o aço. Supondo que
do aço seja aproximadamente 50 W/(m·°C).
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a diferença de temperatura ao longo da barra. Sabemos que o comprimento
:
O sinal negativo indica que a temperatura diminui na direção do fluxo de calor.
Passo 7
Sabendo que a diferença de temperatura entre as chapas é de 20°C (90°C - 70°C), percebemos que o cálculo anterior resultou em uma diferença maior. Isso sugere que a temperatura máxima ocorre em um dos lados devido à geração de calor interna.
Para encontrar a temperatura máxima, consideramos que o calor gerado eleva a temperatura no meio da barra. Porém, como a barra está em equilíbrio térmico, a temperatura máxima será igual à temperatura da chapa mais quente.
Passo 8
Portanto, a temperatura máxima na haste é igual à temperatura da chapa quente:
Passo 9
Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. Como a barra está isolada nas circunferências e o calor flui apenas ao longo do comprimento, a taxa de fluxo nos dois extremos deve somar a taxa total de geração de calor.
Se considerarmos que a dissipação de calor é distribuída igualmente, então:
Passo 10
Porém, como há geração interna de calor, a distribuição pode não ser exatamente igual. Para verificar, consideramos que todo o calor gerado é dissipado nas extremidades:
Isso confirma que a soma das taxas de fluxo nas extremidades é igual à taxa total de geração de calor, mantendo o equilíbrio térmico.
Resposta
A temperatura máxima na haste é de 90 °C. A taxa de fluxo de calor em cada extremidade é de 6 W. A soma das taxas de fluxo de calor nas duas extremidades (6 W + 6 W) corresponde à taxa total de geração de calor de 12 W, confirmando os resultados.