Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor convectiva
, e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K . A emissividade da superfície é
. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa metálica que está absorvendo energia solar e, ao mesmo tempo, dissipando calor por convecção e radiação. Nosso objetivo é encontrar qual é a temperatura de equilíbrio dessa placa. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente convecção e radiação térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A placa está recebendo energia solar a uma taxa de 500 W/m². Essa energia precisa ser igual à energia que a placa está perdendo para não ficar esquentando indefinidamente, ou seja, em equilíbrio térmico. As perdas de energia acontecem por duas maneiras:
- Convecção para o ar ambiente.
- Radiação para o ambiente ao redor.
Passo 3
Vamos começar calculando a perda de energia por convecção. A fórmula para a transferência de calor por convecção é:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor convectiva (20 W/m²·°C). -
é a área da placa. -
é a temperatura da placa. -
é a temperatura do ar ambiente (300 K).
Passo 4
Agora, vamos calcular a perda de energia por radiação. A fórmula para a transferência de calor por radiação é:
Onde:
-
é a emissividade da superfície (0,9). -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( W/m²·K⁴). -
é a temperatura do corpo negro envolvente (280 K).
Passo 5
Como estamos no equilíbrio térmico, a energia absorvida pela placa é igual à energia dissipada. Então, temos:
Aqui, dividimos ambos os lados por
já que a área se cancela.
Passo 6
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Simplificando:
Passo 7
Essa é uma equação não linear em
, que geralmente precisa ser resolvida numericamente. Vamos rearranjar para isolar os termos com
:
Calculando o último termo:
Então:
Passo 8
Simplificando mais:
Passo 9
Para resolver essa equação, podemos fazer uma aproximação ou usar métodos numéricos. Vamos supor que a contribuição da radiação não seja tão grande quanto a da convecção, então inicialmente podemos estimar
apenas com a parte de convecção:
Passo 10
Agora, vamos refinar essa estimativa incluindo a contribuição da radiação. Inserindo
na equação de radiação:
Agora, somando com a convecção:
Como absorvemos apenas 500 W/m², precisamos ajustar
para reduzir
. Utilizando métodos de iteração, ajustamos
até que
seja igual a 500 W/m². Após algumas iterações, encontramos:
Resposta
A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente 310 K.