Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a T infty=300 K, com um coeficiente de transferência de calor convectiva h=20 W /(m 2 ^circ C), e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts = 280 K . A emissividade da superfície é varepsilon=0,9. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa metálica que está absorvendo energia solar e, ao mesmo tempo, dissipando calor por convecção e radiação. Nosso objetivo é encontrar qual é a temperatura de equilíbrio dessa placa. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente convecção e radiação térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A placa está recebendo energia solar a uma taxa de 500 W/m². Essa energia precisa ser igual à energia que a placa está perdendo para não ficar esquentando indefinidamente, ou seja, em equilíbrio térmico. As perdas de energia acontecem por duas maneiras:
  1. Convecção para o ar ambiente.
  2. Radiação para o ambiente ao redor.

Passo 3

Vamos começar calculando a perda de energia por convecção. A fórmula para a transferência de calor por convecção é:
Qconvecção = h times A times (Tplaca - Tinfty) çã
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectiva (20 W/m²·°C).
  • é a área da placa.
  • é a temperatura da placa.
  • é a temperatura do ar ambiente (300 K).

Passo 4

Agora, vamos calcular a perda de energia por radiação. A fórmula para a transferência de calor por radiação é:
Qradiação = varepsilon times sigma times A times (Tplaca^4 - Ts^4) çã
Onde:
  • é a emissividade da superfície (0,9).
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( W/m²·K⁴).
  • é a temperatura do corpo negro envolvente (280 K).

Passo 5

Como estamos no equilíbrio térmico, a energia absorvida pela placa é igual à energia dissipada. Então, temos:
500 = h times (Tplaca - 300) + varepsilon times sigma times (Tplaca^4 - 280^4)
Aqui, dividimos ambos os lados por já que a área se cancela.

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
500 = 20 times (Tplaca - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 times (Tplaca^4 - 280^4)
Simplificando:
500 = 20(Tplaca - 300) + 5,103 times 10^-8(Tplaca^4 - 6146560000)

Passo 7

Essa é uma equação não linear em 20Tplaca - 6000 + 5,103 times 10^-8Tplaca^4 - 5,103 times 10^-8 times 6146560000 = 500 , que geralmente precisa ser resolvida numericamente. Vamos rearranjar para isolar os termos com 5,103 times 10^-8 times 6146560000 approx 313,000 :
20Tplaca - 6000 + 5,103 times 10^-8Tplaca^4 - 313000 = 500
Calculando o último termo:
Então:

Passo 8

Simplificando mais:
5,103 times 10^-8Tplaca^4 + 20Tplaca - 319500 = 500
5,103 times 10^-8Tplaca^4 + 20Tplaca - 320000 = 0

Passo 9

Para resolver essa equação, podemos fazer uma aproximação ou usar métodos numéricos. Vamos supor que a contribuição da radiação não seja tão grande quanto a da convecção, então inicialmente podemos estimar 500 = 20(Tplaca - 300) apenas com a parte de convecção:
Tplaca - 300 = 50020 = 25
Tplaca = 325 , K

Passo 10

Agora, vamos refinar essa estimativa incluindo a contribuição da radiação. Inserindo Qradiação = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times (325^4 - 280^4) approx 0,9 times 5,67 times 10^-8 times (1.118 times 10^10 - 6,176 times 10^9) approx 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 5,005 times 10^9 approx 256 W/m² na equação de radiação:
Qtotal = 20 times 25 + 256 = 500 + 256 = 756 , W/m² çã²
Agora, somando com a convecção:
Tplaca approx 310 , K ²
Como absorvemos apenas 500 W/m², precisamos ajustar para reduzir . Utilizando métodos de iteração, ajustamos até que seja igual a 500 W/m². Após algumas iterações, encontramos:

Resposta

A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente 310 K.

Exercícios relacionados