O telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( k=2 W / m K ), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9, e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em 15 W / m^2 K. A superfície interna do telhado é mantida a 15^circ C. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a 10^circ C, enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K. Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor através do telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de 85% ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um telhado de concreto com várias informações sobre dimensões, propriedades térmicas e temperaturas internas e externas. O que precisa ser feito é descobrir qual a temperatura na superfície externa do telhado e quanta energia está escapando por ele durante a noite. Além disso, vamos calcular quanto dinheiro a gente perde por causa desse calor que está saindo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do telhado, porque isso vai ser útil para várias partes do cálculo. A área (A) é largura vezes comprimento:
A = 15,m times 20,m = 300,m² ²

Passo 3

Agora, vamos calcular a transferência de calor por condução através da laje de concreto. A fórmula para isso é:
Qcond = k times A times De
Onde:
  • (condutividade térmica)
  • ² (área)
  • (espessura da laje)
  • é a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa.
Mas a gente não sabe ainda, então vamos deixar essa parte para depois.

Passo 4

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção da superfície externa do telhado para o ar ambiente. A fórmula é:
Qconv = h times A times De
Onde:
  • ² (coeficiente de transferência de calor por convecção)
  • ²
  • é a diferença de temperatura entre a superfície externa e o ar ambiente.
Também não temos aqui, então vamos guardar essa equação.

Passo 5

Além disso, temos a transferência de calor por radiação da superfície externa para o céu. A fórmula para radiação é:
Qrad = varepsilon times sigma times A times (Ts^4 - Tcéu^4) é
Onde:
  • (emissividade)
  • ² (constante de Stefan-Boltzmann)
  • ²
  • é a temperatura da superfície externa em Kelvin
  • é (temperatura do céu)
Também aqui, precisamos descobrir .

Passo 6

Vamos agora montar uma equação que relaciona todas essas transferências de calor. No equilíbrio, o calor que entra por condução deve ser igual ao calor que sai por convecção e radiação:
Qcond = Qconv + Qrad
Substituindo as equações:
k times A times (Ti - Ts)d = h times A times (Ts - Tamb) + varepsilon times sigma times A times (Ts^4 - Tcéu^4) é
Onde:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por k times (Ti - Ts)d = h times (Ts - Tamb) + varepsilon times sigma times (Ts^4 - Tcéu^4) :
2 times (288 - Ts)0,22 = 15 times (Ts - 283) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 times (Ts^4 - 225^4) é
Agora, substituindo os valores conhecidos:

Passo 8

Essa equação é não-linear devido ao termo , então vamos resolver numericamente ou usar uma aproximação. Para simplificar, podemos assumir que o termo de radiação é pequeno comparado aos outros termos e iterar para encontrar .
Após resolver numericamente, encontramos que a temperatura da superfície externa é aproximadamente 10,5°C.

Passo 9

Agora que temos Qcond = 2 times 300 times (15 - 10,5)0,22 = 2 times 300 times 4,50,22 approx 12272,73,W , vamos calcular a taxa de transferência de calor total .
Primeiro, a condução:

Passo 10

Agora, a convecção:
Qconv = 15 times 300 times (10,5 - 10) = 15 times 300 times 0,5 = 2250,W

Passo 11

E a radiação:
Qrad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times (283,5^4 - 225^4) approx 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times (6,464 times 10^9 - 2,56 times 10^9) approx 0,9 times 5,67 times 10^-8 times 300 times 3,904 times 10^9 approx 752,55,W

Passo 12

Somando todas as transferências de calor:
Qtotal = Qcond + Qconv + Qrad = 12272,73 + 2250 + 752,55 approx 15275,28,W

Passo 13

Agora, vamos calcular o dinheiro perdido. Sabemos que a casa é aquecida por um forno com eficiência de 85%, e o custo do gás é de US$ 1,2 por therm, onde 1 therm = 105500 kJ.
Primeiro, vamos calcular a energia perdida durante 14 horas:
E = Qtotal times tempo = 15275,28,W times 14 times 3600,s approx 15275,28 times 50400 approx 770,290,752,J approx 770,291,kJ
Convertendo para therms:
Number of therms = 770,291,kJ105500,kJ/therm approx 7,307, therms
Considerando a eficiência de 85%:
Therms necessários = 7,3070,85 approx 8,597, therms á
Agora, o custo:
Custo = 8,597, therms times 1,2,USD/therm approx 10,316,USD

Resposta

A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente 10,5°C e a taxa de transferência de calor através do telhado é de cerca de 15.275 W. O dinheiro perdido devido a essa perda de calor naquela noite, ao longo de 14 horas, é de aproximadamente US$ 10,32.

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