Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de 4,0 times 10 m^2 e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 ^circ C, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a 25^circ C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada.
Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade
mais
quente?

Passo 1

Bele, vamos lá! A gente tem duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, conectadas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de e um comprimento de . A ponta livre do alumínio está a e a do cobre a . A gente quer descobrir qual é a temperatura a da ponta mais quente do alumínio. Para resolver isso, vamos usar a teoria de condução de calor em regime permanente, que leva em conta a condutividade térmica dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o calor flui do alumínio para o cobre. Como as hastes estão conectadas, a taxa de fluxo de calor Q = k cdot A cdot De é a mesma em ambas. A fórmula para fluxo de calor em regime permanente é:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento da haste.

Passo 3

Vamos chamar de kAl cdot A cdot (302 - Tj)LAl = kCu cdot A cdot (Tj - 25)LCu a temperatura na junção entre as duas hastes. Como o fluxo de calor é o mesmo, podemos igualar os fluxos nas hastes de alumínio e cobre:

Passo 4

Podemos simplificar a equação eliminando kAl cdot (302 - Tj)LAl = kCu cdot (Tj - 25)LCu de ambos os lados:

Passo 5

Agora, isolamos kAl cdot (302 - Tj) cdot LCu = kCu cdot (Tj - 25) cdot LAl para encontrar a temperatura na junção. Rearranjando a equação:
kAl cdot 302 cdot LCu - kAl cdot Tj cdot LCu = kCu cdot Tj cdot LAl - kCu cdot 25 cdot LAl
kAl cdot 302 cdot LCu + kCu cdot 25 cdot LAl = Tj cdot (kAl cdot LCu + kCu cdot LAl)
Tj = kAl cdot 302 cdot LCu + kCu cdot 25 cdot LAlkAl cdot LCu + kCu cdot LAl

Passo 6

Agora, precisamos dos valores das condutividades térmicas. Sabemos que:
  • Tj = 205 cdot 302 cdot 0,040 + 385 cdot 25 cdot 0,040205 cdot 0,040 + 385 cdot 0,040
Substituindo na equação:

Passo 7

Vamos calcular o numerador e denominador separadamente:
Numerador:
205 cdot 302 cdot 0,040 = 205 times 302 times 0,040 = 2479,6
385 cdot 25 cdot 0,040 = 385 times 25 times 0,040 = 385
Total do numerador: 205 cdot 0,040 + 385 cdot 0,040 = (205 + 385) times 0,040 = 590 times 0,040 = 23,6
Denominador:

Passo 8

Agora, dividimos numerador pelo denominador para encontrar Tj = 2864,623,6 approx 121,3^circ C :

Passo 9

Agora que sabemos a temperatura na junção ( T = Tquente - ( Q cdot Lk cdot A ) ), vamos encontrar a temperatura a 302 - 121,30,040 approx 4542,5 , °C/m da ponta mais quente do alumínio. Como a temperatura varia linearmente no alumínio, usamos a equação:
4542,5 times 0,015 approx 68,14^circ C
Mas já que temos fluxo constante e queremos encontrar a temperatura em uma distância específica, podemos usar a relação direta da variação linear.
Sabendo que o total de temperatura cai de 302 - 68,14 approx 233,86^circ C até ao longo de :
A variação por metro é:
Então, a variação em é:
Portanto, a temperatura a da ponta quente é:

Resposta

A temperatura na haste de alumínio a uma distância de da extremidade mais quente é aproximadamente .

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