Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de
e o comprimento de cada uma é de
. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a
, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a
. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada.
Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade
mais
quente?
Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade
mais
quente?
Passo 1
Bele, vamos lá! A gente tem duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, conectadas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de
e um comprimento de
. A ponta livre do alumínio está a
e a do cobre a
. A gente quer descobrir qual é a temperatura a
da ponta mais quente do alumínio. Para resolver isso, vamos usar a teoria de condução de calor em regime permanente, que leva em conta a condutividade térmica dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o calor flui do alumínio para o cobre. Como as hastes estão conectadas, a taxa de fluxo de calor
é a mesma em ambas. A fórmula para fluxo de calor em regime permanente é:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento da haste.
Passo 3
Vamos chamar de
a temperatura na junção entre as duas hastes. Como o fluxo de calor é o mesmo, podemos igualar os fluxos nas hastes de alumínio e cobre:
Passo 4
Podemos simplificar a equação eliminando
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, isolamos
para encontrar a temperatura na junção. Rearranjando a equação:
Passo 6
Agora, precisamos dos valores das condutividades térmicas. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 7
Vamos calcular o numerador e denominador separadamente:
Numerador:
Total do numerador:
Denominador:
Passo 8
Agora, dividimos numerador pelo denominador para encontrar
:
Passo 9
Agora que sabemos a temperatura na junção (
), vamos encontrar a temperatura a
da ponta mais quente do alumínio. Como a temperatura varia linearmente no alumínio, usamos a equação:
Mas já que temos fluxo constante e queremos encontrar a temperatura em uma distância específica, podemos usar a relação direta da variação linear.
Sabendo que o total de temperatura cai de
até
ao longo de
:
A variação por metro é:
Então, a variação em
é:
Portanto, a temperatura a
da ponta quente é:
Resposta
A temperatura na haste de alumínio a uma distância de
da extremidade mais quente é aproximadamente
.