Duas hastes estreitas de comprimento L estão sobre o eixo x, uma delas entre os pontos x=a2 e x=a2+L e a outra entre os pontos x=-a2 e x=-a2-L. Cada haste possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento.
Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo x.

Passo 1

Então, temos duas hastes fininhas ao longo do eixo . A primeira haste está entre e , e a segunda está entre e . Cada haste tem uma carga total distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico que a segunda haste (a que está no lado negativo do eixo ) produz em pontos ao longo da parte positiva do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular o campo elétrico devido a uma haste carregada, usamos a lei de Coulomb integrada ao longo da extensão da haste. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga lambda = QL é dada por:
Isso nos diz quanto de carga temos por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto de interesse ao longo do eixo positivo, digamos . Queremos encontrar o campo elétrico nesse ponto devido à segunda haste. Para isso, consideramos um pequeno elemento de comprimento na haste carregada. A carga nesse elemento é .

Passo 4

A distância entre o elemento de carga dE = 14pivarepsilon0 cdot dqr^2 na haste e o ponto onde queremos calcular o campo elétrico é , onde varia de a . O campo elétrico devido a esse elemento de carga é dado por:
Como o campo aponta na direção do eixo , podemos somar todos esses integralmente.

Passo 5

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 cdot lambda dx'(x0 - x')^2 e E = lambda4pivarepsilon0 integral-a2^-a2 - L dx'(x0 - x')^2 na expressão de , temos:
Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja E = lambda4pivarepsilon0 integralx0 + a2^x0 + a2 + L duu^2 = lambda4pivarepsilon0 [ -1u ]x0 + a2^x0 + a2 + L , então . Os limites de integração mudam para e . A integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
E = lambda4pivarepsilon0 ( -1x0 + a2 + L + 1x0 + a2 ) = lambda4pivarepsilon0 ( 1x0 + a2 - 1x0 + a2 + L )

Passo 8

Substituindo E = QL4pivarepsilon0 ( 1x0 + a2 - 1x0 + a2 + L ) = Q4pivarepsilon0 L ( 1x0 + a2 - 1x0 + a2 + L ) na expressão:

Resposta

O campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos ao longo da parte positiva do eixo E = Q4pivarepsilon0 L ( 1x + a2 - 1x + a2 + L ) é:

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