Duas hastes estreitas de comprimento
estão sobre o eixo
, uma delas entre os pontos
e
e a outra entre os pontos
e
. Cada haste possui uma carga
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento.
Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo
.
Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo
Passo 1
Então, temos duas hastes fininhas ao longo do eixo
. A primeira haste está entre
e
, e a segunda está entre
e
. Cada haste tem uma carga total
distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico que a segunda haste (a que está no lado negativo do eixo
) produz em pontos ao longo da parte positiva do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular o campo elétrico devido a uma haste carregada, usamos a lei de Coulomb integrada ao longo da extensão da haste. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga
é dada por:
Isso nos diz quanto de carga temos por unidade de comprimento.
Passo 3
Agora, vamos escolher um ponto de interesse ao longo do eixo
positivo, digamos
. Queremos encontrar o campo elétrico
nesse ponto devido à segunda haste. Para isso, consideramos um pequeno elemento de comprimento
na haste carregada. A carga nesse elemento é
.
Passo 4
A distância entre o elemento de carga
na haste e o ponto
onde queremos calcular o campo elétrico é
, onde
varia de
a
. O campo elétrico devido a esse elemento de carga é dado por:
Como o campo aponta na direção do eixo
, podemos somar todos esses
integralmente.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Os limites de integração mudam para
e
. A integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Substituindo
na expressão:
Resposta
O campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos ao longo da parte positiva do eixo
é: