Duas hastes estreitas de comprimento estão sobre o eixo , uma delas entre os pontos e e a outra entre os pontos e . Cada haste possui uma carga distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento.
Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo .

Passo 1

Então, temos duas hastes fininhas ao longo do eixo . A primeira haste está entre e , e a segunda está entre e . Cada haste tem uma carga total distribuída de maneira uniforme. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico que a segunda haste (a que está no lado negativo do eixo ) produz em pontos ao longo da parte positiva do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular o campo elétrico devido a uma haste carregada, usamos a lei de Coulomb integrada ao longo da extensão da haste. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga é dada por:
Isso nos diz quanto de carga temos por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto de interesse ao longo do eixo positivo, digamos . Queremos encontrar o campo elétrico nesse ponto devido à segunda haste. Para isso, consideramos um pequeno elemento de comprimento na haste carregada. A carga nesse elemento é .

Passo 4

A distância entre o elemento de carga na haste e o ponto onde queremos calcular o campo elétrico é , onde varia de a . O campo elétrico devido a esse elemento de carga é dado por:
Como o campo aponta na direção do eixo , podemos somar todos esses integralmente.

Passo 5

Substituindo e na expressão de , temos:
Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Os limites de integração mudam para e . A integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:

Passo 8

Substituindo na expressão:

Resposta

O campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos ao longo da parte positiva do eixo é:

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