Duas impedâncias Z1=5 L 45^circ Omega e Z2=10 L 30^circ Omega estão em série e têm Q total =19520 Var atrasado. Determinar as potências P e S .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas impedâncias em série: e . A gente sabe que, quando impedâncias estão em série, a impedância total é a soma delas. O exercício também nos diz que a potência reativa total é de 19520 VAR (Vars atrasados, o que significa que é uma potência reativa indutiva). Nosso objetivo é determinar as potências ativa e aparente . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de impedância em séries, potências em circuitos de corrente alternada e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas impedâncias em série para encontrar a impedância total Z1 = 5 cos(45^circ) + j5 sin(45^circ) = 3.5355 + j3.5355 , Omega . Como estão em forma polar, precisamos converter para a forma retangular para facilitar a soma.
Para Z2 = 10 cos(30^circ) + j10 sin(30^circ) = 8.6603 + j5 , Omega :
Ztotal = (3.5355 + 8.6603) + j(3.5355 + 5) = 12.1958 + j8.5355 , Omega
Para :
Agora, somamos as partes reais e imaginárias:

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a magnitude e o ângulo da impedância total |Ztotal| = raiz12.1958^2 + 8.5355^2 approx raiz148.7 + 72.84 approx raiz221.54 approx 14.88 , Omega . A magnitude é dada por:
phi = arctan(8.535512.1958) approx arctan(0.700) approx 35^circ
O ângulo da impedância total é:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos relacionar a potência reativa total Q = S sin(phi) com a potência aparente S = Qsin(phi) = 19520sin(35^circ) approx 195200.574 approx 33929 , VA e o ângulo de fase . Sabemos que:
Estamos dados e . Queremos encontrar .
Rearranjando a fórmula:

Passo 5

Com a potência aparente P = S cos(phi) encontrada, podemos agora determinar a potência ativa P = 33929 times cos(35^circ) approx 33929 times 0.819 approx 27786 , W usando a relação:
Substituindo os valores:

Resposta

As potências são e .

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