Um Trafo de 100kVA está operando a 80 % da plena carga com fp 0,85 atrasado. Quanto kVA de carga com f p=0,6 atrasado podem ser acrescentados, sem que se exceda o regime de plena carga do transformador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um transformador de 100 kVA que está operando a 80% da carga plena com um fator de potência (fp) de 0,85 atrasado. Queremos descobrir quantos kVA de carga com fp = 0,6 atrasado podem ser adicionados sem ultrapassar a capacidade máxima do transformador.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potência aparente, real e reativa, além de como o fator de potência influencia nisso tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga atual do transformador. Sabemos que ele está operando a 80% de 100 kVA, ou seja:
Carga atual = 100 , kVA times 0,80 = 80 , kVA

Passo 3

Agora, vamos decompor essa carga atual em potência real ( P = Carga atual times fp = 80 , kVA times 0,85 = 68 , kW ) e potência reativa ( Q = Carga atual times sin(arccos(fp)) ) usando o fator de potência (fp) de 0,85:
cos^-1(0,85) approx 31,79^circ
Q = 80 times sin(31,79^circ) approx 80 times 0,5257 approx 42,06 , kVAR
Primeiro, encontramos o ângulo de fase:
Então:

Passo 4

Agora, queremos adicionar uma nova carga com fp = 0,6 atrasado. Vamos chamar essa nova carga de Pnova = Snova times 0,6 .
Vamos decompor essa nova carga também em Qnova = Snova times sin(arccos(0,6)) e cos^-1(0,6) approx 53,13^circ :
Qnova = Snova times sin(53,13^circ) approx Snova times 0,8
Calculando o ângulo de fase:
Então:

Passo 5

Para não exceder a carga máxima de 100 kVA do transformador, a soma das potências reais e reativas das cargas existente e nova deve respeitar a seguinte condição:
raiz(P + Pnova)^2 + (Q + Qnova)^2 <= 100 , kVA
Substituindo os valores que já temos:
raiz(68 + 0,6 times Snova)^2 + (42,06 + 0,8 times Snova)^2 <= 100

Passo 6

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar A = 68 + 0,6 times Snova . Para facilitar, vamos substituir:
B = 42,06 + 0,8 times Snova
raizA^2 + B^2 <= 100
Então:
A^2 + B^2 <= 10000
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(68 + 0,6 Snova)^2 + (42,06 + 0,8 Snova)^2 <= 10000
Substituindo de volta:

Passo 7

Expandindo os quadrados:
(68)^2 + 2 times 68 times 0,6 Snova + (0,6 Snova)^2 + (42,06)^2 + 2 times 42,06 times 0,8 Snova + (0,8 Snova)^2 <= 10000
Calculando cada termo:
4624 + 81,6 Snova + 0,36 Snova^2 + 1766,04 + 67,296 Snova + 0,64 Snova^2 <= 10000
Somando os termos semelhantes:
4624 + 1766,04 + (81,6 + 67,296) Snova + (0,36 + 0,64) Snova^2 <= 10000
63890,04 + 148,896 Snova + 1,00 Snova^2 <= 10000

Passo 8

Vamos reorganizar a equação:
Snova^2 + 148,896 Snova + 63890,04 - 10000 <= 0
Snova^2 + 148,896 Snova + 53890,04 <= 0
Essa inequação quadrática não tem solução real positiva, o que indica que, na verdade, não é possível adicionar mais carga sem exceder a capacidade do transformador. Portanto, a carga máxima já está próxima do limite.

Resposta

Não é possível acrescentar nenhuma carga adicional com fator de potência 0,6 atrasado sem exceder a capacidade máxima de 100 kVA do transformador.

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