Duas matrizes
e
são semelhantes (notação:
) se existe uma matriz
inversível tal que
. Mostre que se
for uma matriz inversível e
, então
é também inversível.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
que são semelhantes, ou seja, existe uma matriz inversível
tal que
. O objetivo é mostrar que, se
é inversível, então
também é inversível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes similares e propriedades de matrizes inversíveis.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Dado que
é inversível, temos
existente. Como
é semelhante a
, ou seja,
, vamos tentar encontrar a inversa de
usando essa relação.
Passo 4
Para encontrar
, vamos manipular a expressão
:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas em ordem reversa. Portanto:
Passo 5
Simplificando
, que é simplesmente
, temos:
Isso mostra que
existe, já que é composta por matrizes inversíveis
e
.
Resposta
Portanto, se
é uma matriz inversível e
, então
também é inversível, com sua inversa dada por:
Exercícios relacionados
Seja ABC um triângulo. Mostre que o segmento que une os pontos médios dois lados
e
tem metade do lado
.
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) com quaisquer vetores
e
e quaisquer escalares
e
, entāo
é uma transformaçăo linear.
(a)
Encontre um vetor unitário que é ortogonal a ambos os vetores
e
, onde
é uma base ortonormal.
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(b) Se v for um vetor não nulo em , então existe exatamente uma transformaçäo linear
tal que
.
(b) Se v for um vetor não nulo em