Duas matrizes An times n e Bn times n são semelhantes (notação: A sim B ) se existe uma matriz Pn times n inversível tal que B=P^-1 cdot A cdot P. Mostre que se A for uma matriz inversível e B sim A, então B é também inversível.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos duas matrizes quadradas e de ordem que são semelhantes, ou seja, existe uma matriz inversível tal que . O objetivo é mostrar que, se é inversível, então também é inversível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes similares e propriedades de matrizes inversíveis.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Dado que é inversível, temos existente. Como é semelhante a , ou seja, , vamos tentar encontrar a inversa de usando essa relação.

Passo 4

Para encontrar B^-1 = (P^-1 cdot A cdot P)^-1 , vamos manipular a expressão B^-1 = P^-1 cdot A^-1 cdot (P^-1)^-1 :
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas em ordem reversa. Portanto:

Passo 5

Simplificando B^-1 = P^-1 cdot A^-1 cdot P , que é simplesmente , temos:
Isso mostra que existe, já que é composta por matrizes inversíveis e .

Resposta

Portanto, se B^-1 = P^-1 cdot A^-1 cdot P é uma matriz inversível e , então também é inversível, com sua inversa dada por:

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