Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se T(c1 v1+c2 v2)=c1 T(v1)+c2 T(v2) com quaisquer vetores v1 e v2 em V e quaisquer escalares c1 e c2, entāo T é uma transformaçăo linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma transformação que, ao aplicar em uma combinação linear de dois vetores e com escalares e , resulta na mesma combinação linear das imagens desses vetores pela transformação . O conteúdo aqui é sobre transformações lineares e vamos precisar entender a definição de transformação linear para resolver.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades juntas garantem que preserva a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Na afirmação do exercício, temos que:
T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2)
Isso significa que preserva simultaneamente a adição e a multiplicação por escalar para quaisquer vetores e escalares .

Passo 4

Como a transformação satisfaz exatamente as duas propriedades requeridas para ser linear (adição e homogeneidade), podemos concluir que é uma transformação linear.

Resposta

A afirmação é verdadeira. é uma transformação linear.

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