Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a)
com quaisquer vetores
e
e quaisquer escalares
e
, entāo
é uma transformaçăo linear.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está dizendo. Temos uma transformação
que, ao aplicar em uma combinação linear de dois vetores
e
com escalares
e
, resulta na mesma combinação linear das imagens desses vetores pela transformação
. O conteúdo aqui é sobre transformações lineares e vamos precisar entender a definição de transformação linear para resolver.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Adição:
- Homogeneidade:
Essas duas propriedades juntas garantem que
preserva a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Na afirmação do exercício, temos que:
Isso significa que
preserva simultaneamente a adição e a multiplicação por escalar para quaisquer vetores
e escalares
.
Passo 4
Como a transformação
satisfaz exatamente as duas propriedades requeridas para ser linear (adição e homogeneidade), podemos concluir que
é uma transformação linear.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
a)
a)
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
d)
d)
Seja ABC um triângulo. Mostre que o segmento que une os pontos médios dois lados
e
tem metade do lado
.
Duas matrizes
e
são semelhantes (notação:
) se existe uma matriz
inversível tal que
. Mostre que se
for uma matriz inversível e
, então
é também inversível.