Duas ondas que se deslocam por uma corda são idênticas, a não ser por suas velocidades opostas. Ambas obedecem à equação
onde o sinal de mais ou menos depende do sentido em que a onda se desloca. Mostre que a corda em vibração é descrita pela equação
Passo 1
Então, a gente tem duas ondas que andam numa corda, mas uma vai pra um lado e a outra vai pro lado oposto. As duas ondas são iguais, menos a direção que elas se movem. A equação que descreve cada onda é
A gente vai precisar somar essas duas ondas pra achar a vibração total da corda, que deve ficar assim:
Vamos usar umas identidades trigonométricas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações das ondas. Uma delas tem o sinal de mais e a outra tem o sinal de menos:
Passo 3
Agora, a gente vai somar as duas ondas pra encontrar a vibração total:
Passo 4
Para somar essas duas senos, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aqui,
e
.
Passo 5
Aplicando essa identidade na nossa soma:
Passo 6
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Resposta
A vibração total da corda é