Duas ondas que se deslocam por uma corda são idênticas, a não ser por suas velocidades opostas. Ambas obedecem à equação
y(x, t)=A sen(k x pm omega t)
onde o sinal de mais ou menos depende do sentido em que a onda se desloca. Mostre que a corda em vibração é descrita pela equação
y total (x, t)=2 A sen(k x) cos (omega t)

Passo 1

Então, a gente tem duas ondas que andam numa corda, mas uma vai pra um lado e a outra vai pro lado oposto. As duas ondas são iguais, menos a direção que elas se movem. A equação que descreve cada onda é y(x, t) = A sen(k x pm omega t)
A gente vai precisar somar essas duas ondas pra achar a vibração total da corda, que deve ficar assim: ytotal(x, t) = 2 A sen(k x) cos (omega t)
Vamos usar umas identidades trigonométricas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações das ondas. Uma delas tem o sinal de mais e a outra tem o sinal de menos:
y1(x, t) = A sen(k x + omega t)
y2(x, t) = A sen(k x - omega t)

Passo 3

Agora, a gente vai somar as duas ondas pra encontrar a vibração total:
ytotal(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A sen(k x + omega t) + A sen(k x - omega t)

Passo 4

Para somar essas duas senos, vamos usar a identidade trigonométrica:
sen(a) + sen(b) = 2 sen(a + b2) cos(a - b2)
Aqui, e .

Passo 5

Aplicando essa identidade na nossa soma:
ytotal(x, t) = 2 A sen((kx + omega t) + (kx - omega t)2) cos((kx + omega t) - (kx - omega t)2)

Passo 6

Vamos simplificar dentro dos parênteses:
(kx + omega t) + (kx - omega t)2 = 2kx2 = kx
(kx + omega t) - (kx - omega t)2 = 2omega t2 = omega t

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
ytotal(x, t) = 2 A sen(kx) cos(omega t)

Resposta

A vibração total da corda é ytotal(x, t) = 2 A sen(kx) cos(omega t)

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