No planeta Naboo, um pássaro macho voa no sentido da fêmea com uma velocidade de
enquanto canta com uma frequência de 1200 Hz . A fêmea está em repouso e ouve um tom com uma frequência de 1240 Hz . a) Qual é a velocidade do som na atmosfera do planeta Naboo? b) Se o módulo de elasticidade volumétrico da atmosfera de Naboo é duas vezes maior do que o da atmosfera da Terra, qual o valor da densidade da atmosfera de Naboo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pássaro no planeta Naboo que está voando em direção à fêmea enquanto canta. A frequência que a fêmea ouve é diferente da frequência que o pássaro está emitindo. Vamos usar o Efeito Doppler, que é o fenômeno que explica essa mudança de frequência quando há movimento relativo entre a fonte do som e o observador. Para resolver essa questão, vamos precisar das fórmulas do Efeito Doppler e da relação entre a velocidade do som, o módulo de elasticidade e a densidade do meio.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a velocidade do som na atmosfera de Naboo.
Usamos a fórmula do Efeito Doppler para uma fonte sonora que se aproxima de um observador estacionário:
Onde:
-
é a frequência observada (1240 Hz) -
é a frequência emitida (1200 Hz) -
é a velocidade do som na atmosfera de Naboo (que queremos encontrar) -
é a velocidade da fonte (25 m/s)
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, vamos isolar
. Dividindo ambos os lados por 1200:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o 1,0333:
Agora, subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): encontrar a densidade da atmosfera de Naboo sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico
é duas vezes maior que o da Terra.
Sabemos que a velocidade do som
está relacionada com o módulo de elasticidade volumétrico
e a densidade
pelo seguinte:
Queremos encontrar
, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 7
Como o módulo de elasticidade volumétrico de Naboo é o dobro do da Terra (
), podemos substituir:
Passo 8
Sabemos que para a Terra:
Isolando
:
Passo 9
Substituindo
na equação de
:
Passo 10
Assumindo que conhecemos os valores de
e
, podemos calcular
. Se considerarmos, por exemplo, que na Terra
e
:
Passo 11
Calculando os valores:
Resposta
a) A velocidade do som na atmosfera de Naboo é aproximadamente
.
b) A densidade da atmosfera de Naboo é aproximadamente
.