No planeta Naboo, um pássaro macho voa no sentido da fêmea com uma velocidade de 25 m / s enquanto canta com uma frequência de 1200 Hz . A fêmea está em repouso e ouve um tom com uma frequência de 1240 Hz . a) Qual é a velocidade do som na atmosfera do planeta Naboo? b) Se o módulo de elasticidade volumétrico da atmosfera de Naboo é duas vezes maior do que o da atmosfera da Terra, qual o valor da densidade da atmosfera de Naboo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pássaro no planeta Naboo que está voando em direção à fêmea enquanto canta. A frequência que a fêmea ouve é diferente da frequência que o pássaro está emitindo. Vamos usar o Efeito Doppler, que é o fenômeno que explica essa mudança de frequência quando há movimento relativo entre a fonte do som e o observador. Para resolver essa questão, vamos precisar das fórmulas do Efeito Doppler e da relação entre a velocidade do som, o módulo de elasticidade e a densidade do meio.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a velocidade do som na atmosfera de Naboo.
Usamos a fórmula do Efeito Doppler para uma fonte sonora que se aproxima de um observador estacionário:
f' = f times vv - vs
Onde:
  • é a frequência observada (1240 Hz)
  • é a frequência emitida (1200 Hz)
  • é a velocidade do som na atmosfera de Naboo (que queremos encontrar)
  • é a velocidade da fonte (25 m/s)

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
1240 = 1200 times vv - 25
Agora, vamos isolar 12401200 = vv - 25 . Dividindo ambos os lados por 1200:
1,0333 = vv - 25
Simplificando:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1,0333 times (v - 25) = v para eliminar o denominador:
1,0333v - 25,8333 = v
Distribuindo o 1,0333:
0,0333v = 25,8333
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Finalmente, isolando v = 25,83330,0333 approx 776 , m/s :

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): encontrar a densidade da atmosfera de Naboo sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico v = raizKrho é duas vezes maior que o da Terra.
Sabemos que a velocidade do som rho = Kv^2 está relacionada com o módulo de elasticidade volumétrico e a densidade pelo seguinte:
Queremos encontrar , então vamos rearranjar a fórmula:

Passo 7

Como o módulo de elasticidade volumétrico de Naboo é o dobro do da Terra ( rhoNaboo = 2KTerravNaboo^2 ), podemos substituir:

Passo 8

Sabemos que para a Terra:
vTerra = raizKTerrarhoTerra
Isolando KTerra = vTerra^2 times rhoTerra :

Passo 9

Substituindo rhoNaboo = 2 times vTerra^2 times rhoTerravNaboo^2 na equação de :

Passo 10

Assumindo que conhecemos os valores de rhoNaboo = 2 times (343)^2 times 1,225776^2 e , podemos calcular . Se considerarmos, por exemplo, que na Terra e :

Passo 11

Calculando os valores:
rhoNaboo = 2 times 117649 times 1,225602176 approx 287,918, (kg m/s²)602176 approx 0,478 , kg/m^3 ²

Resposta

a) A velocidade do som na atmosfera de Naboo é aproximadamente .
b) A densidade da atmosfera de Naboo é aproximadamente .

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