Um tubo horizontal de 9,00 cm de diâmetro tem uma redução suave para um tubo de 7,50 cm de diâmetro. Se a pressão manométrica da água no tubo maior é de 8,50 times 10^4 Pa e a pressão manométrica no tubo menor é de 7,20 times 10^4 Pa, qual é a velocidade da água no tubo maior?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo que muda de diâmetro e a pressão da água em cada parte desse tubo. Vamos usar dois conceitos principais da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. A continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades nos dois trechos do tubo, e a Bernoulli nos permite conectar as pressões e velocidades para encontrar a que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade é constante ao longo do tubo. Matematicamente, é:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • e são as áreas das seções maiores e menores do tubo.
  • e são as velocidades da água nesses trechos.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
Para o tubo maior ( A1 = pi ( 9,002 )^2 = pi ( 4,5 )^2 = pi times 20,25 approx 63,617 , cm^2 ):
A2 = pi ( 7,502 )^2 = pi ( 3,75 )^2 = pi times 14,0625 approx 44,178 , cm^2
Para o tubo menor ( ):

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da continuidade para relacionar as velocidades:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Queremos encontrar , a velocidade no tubo maior. Mas ainda precisamos de mais informações para isso, então vamos usar a equação de Bernoulli.

Passo 5

A equação de Bernoulli para dois pontos em um fluido em movimento diz:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como o tubo é horizontal, as alturas ( P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 e ) são iguais e se cancelam. Então fica:

Passo 6

Vamos isolar v2 = A1A2 v1 = 63,61744,178 v1 approx 1,441 v1 usando a equação da continuidade:

Passo 7

Substituindo P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho (1,441 v1)^2 na equação de Bernoulli:
P1 - P2 = 12 rho (1,441^2 v1^2 - v1^2) = 12 rho v1^2 (2,077 - 1) = 12 rho v1^2 (1,077)
Vamos simplificar:

Passo 8

Isolando v1^2 = 2 (P1 - P2)rho times 1,077 :
v1 = raiz 2 (8,50 times 10^4 - 7,20 times 10^4)1000 times 1,077
Aqui, é a densidade da água.

Passo 9

Calculando os valores:
P1 - P2 = 8,50 times 10^4 - 7,20 times 10^4 = 1,30 times 10^4 , Pa
v1 = raiz 2 times 1,30 times 10^41000 times 1,077 = raiz 2,60 times 10^41077 approx raiz24,12 approx 4,91 , m/s

Resposta

A velocidade da água no tubo maior é aproximadamente 4,91 metros por segundo.

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